Page 1
1 १
सं याशा ीय मािहतीच े व प आिण म यवत वृ ी
घटक :
१.१ तावना
१.२ वारंवारीता िवतरण
१.३ वारंवा रता िवतरणाच े आल ेखा मक िच ण
१.४ क ीय व ृ ी मापना या प ती
१.५ सरासरी
१.२ म यगा / म यमा
१.७ बह लक
१.० उि े
सांि यक य त ं ांची गरज व मह व ल ात घ ेणे.
वारंवारीता िवतरण त ं समज ून घेणे.
क ीय व ृ ीची िविवध प रमाण े अ यासण े.
१.१ तावना
पृ वीचे िनरिनरा या प तीन े के या जाणा या वण नाचे एक म ूत व प हणज े भूगोल होय .
यामुळे भूगोल हणज ेच पृ वीचे वण न अशी फार ज ु या का ळापासून चिलत असणारी
या या आपणास ात आह े. पृ वी या व ेगवेग या भागात म ंती करणार े या भागातील
वण न िलहीत असत . यासव िठकाण या वण नां या आधार े भूगोलाचा अ यास सा य क ेला
जात अस े. याका ळी भूगोलाला कोण याच कारच े शा ी य कवच न हत े. के या जाणा या
वण नाम य े स ांि यक य मािहतीचा अभाव आढ ळत असे. यामुळे पृ वीवण नाम य े
ब याचदा प ुनरावृ ी होत अस े. तसेच अशा मािहतीत िक य ेकदा स याचाही अभाव आढ ळ
असे. या सव गो ची दखल घ ेत भूगोला या अ यासाच े एक िनि त , सु यवि थत व
प रणामकारक अस े व प ठरव या या ह ेतूने भूगोला या अ यासाला शा ीय व प ा
क न िदल े व ख या अथा ने भूगोल एक शा हण ून अ यास यास स ु वात झाली व
यातूनच भ ूगोला या व ेगवेग या शाखा ंचा उगम झाला . ाकृितक भ ूगोल, आिथ क भूगोल,
कृषी भूगोल, ादेिशक भ ूगोल, मानवी भ ूगोल, राजक य भ ूगोल इ याद चा सिव तर अ यास
करणे श य झाल े. munotes.in
Page 2
ा यि क भ ूगोल
2 िनसगा तील िविवध घटका ंचा व घटना ंचा मानवाशी असल े या स ंबंधा या ीकोनात ून
अ यास क ेला जाऊ लागला . या घडणा या घटना व या ं याशी िनगडीत असणार े घटक
यांचा काय कारण सहस ंबंध अ यास या या ह ेतूने अनेक प ती अवल ंब या जाऊ लाग या .
उदा. थंड हवामाना या िठकाणी राहणार े लोक ऊबदार लोकरीच े कपड े वापरतात , न ां या
खो यात सुपीक जमीन आढ ळते, सुपीक जिमनी या िठकाणी दाट लोकव ती आढ ळते,
उंचीनुसार तापमान कमी होत जात े इ यादी स ूचक िवधा ने मांडत असताना ती स ू ब
वण नावरच आधारीत असतात . हे भौगोिलक िस ा ंत िकंवा अन ुमान खर े क खोट े हे
तपास ून पाह यासाठी ब याच िनरी णा ंची आव यकता असत े. मा अस े िस ा ंत
भूगोलशा ाम य े केवळ वण नाने तपासण े श य असत नाही . इतर कोण याही शा ाम य े
मांडले या िस ा ंताची पडता ळणी ही योगा ार े योगशा ळेत तपास ून पाहण े श य असत े.
उदा. आ लता व अ कधम पणा ओ ळख यासाठी िलटमस प ेपरचा वापर क ेला जातो . मा
सुपीक जिमनी या िठकाणी दाट लोकस ं या असत े हे योगान े / योगशा ळेत िस करता
येत नाही तर या साठी य व अच ूक िनरी णच उपयोगी ठरत े असे असल े तरी दोन
यि ंनी एकाच गो ी या / घटका या क ेले या िनरी णाम य े साध य असेलच अस े नाही.
कारण कोणत ेही वण न िनरी का या तौलिनक अन ुभवावर व या या ानावर अवल ंबून
असत े याम ुळे एकच घटना दोन िनरी क व ेगवेग या कार े य करतील ह े केले जाणार े
वण न हणज े गुणा मक वण न होय . असे गुणा मक वण न भौगोिलक स ंक पना समजाव ून
घे यासाठी उपय ु ठरत असत े. मा क ेवळ गुणा मक वण ना या सहा यान े भूगोलाची
या ी प रप ूण होवू शकत नाही . यासाठीच भौगोिल क मािहतीच े वण न जे हा सा ंि यक य
मािहती या आधार े केले जात े ते हा याला शा ीय व प ा होत े. हणज ेच केवळ
वण ना मक मािहतीव न िक ंवा गुणा मक मािहतीव न या घटन ेबाबतची / घटकाबाबत या
प रि थतीची स यता प होव ू शकत नाही हण ूनच अशा व ेळी या या प रि थतीबाबत
सं याशा ीय मािहती द ेणे अिधक उिचत ठरत े. उदा. िसंधुदुग म ये पाऊस जा त पडतो .
हे िवधान पडणा या पावसाची प व िनि त क पना द ेत नाही कारण जा त हणज े
िकती ? हा कायमच अन ु रीत राहतो . असे होवू नये हणूनच त ेथे सं याशा ाचा
वापर करण े अिधक स ंयुि क ठरत े. या आधार ेच वरील िवधान मा ंडतना आपण जर
िसंधुदुगा त सरासरी पाऊस १५० से.मी. पडतो अस े िवधान मा ंड यास याव न
अ यासकाला पावसाबाबतचा अच ूक अ ंदाज प होतो . हणूनच ग ुणा मक मािहतीला
सं याशा ीय आधार द ेणे अितशय मह वाच े आहे.
सं याशा ीय मािहतीचा आधार घ ेत असताना भ ूगोलशा ा या अ यासात अन ेक
सं याशा ीय प त चा / तं ांचा अवल ंब केला जातो क , याम ुळे भूगोलशा ाचा अ यास
आज या अ यासका ंना यो य कारची िदशा व माग दश क ठरत आह े. सं याशा ी य
प त चा / तं ांचा अवल ंब करत असताना वार ंवा रता , सरासरी , म यमा , बह लक ,
माणिवचलन , िव तार , सहसंबंध, ितगमन र ेषा, कालमािलका , अप करण , सरकती
सरासरी इ यादी प ती / तं ांचा केला जातो .
१.२ वारंवारीता िवतरण
भूगोलाम य े सं याशा ाचा अ यास क रत असताना व ेगवेग या कारच े संशोधन कराव े
लागत े. हे संशोधन करत असताना भ ूगोलशा ातील अन ेक सा ंि यक य त ं ाचा वापर munotes.in
Page 3
सं याशा ीय मािहतीच े व प
आिण म यवत वृ ी
3 करावा लागतो व यान ंतर वेगवेग या िस ांताची िनिम ती होत े. असे हे संशोधन व ेगवेग या
ट यांनी केले जाते व यात ूनच अच ूक असा िन कष काढला जातो. हे ट पे पुढील माण े -
१) साि यक य आकड ेवारी गो ळा करणे.
२) यो य कार े ितची मा ंडणी करण े.
३) याचे प र ण करण े.
४) यो य िन कष काढण े.
भूगोलाम य े संशोधनाच े व रल ट या ंचा उपयोग क न सा ंि यक य आकड ेवारीच े वग करण
केले जाते. ही सा ंि यक य आकड ेवारी भ ूगोलाम य े वेगवेग या कार े उपल ध होत े.
उदा. देशाची उ ंची, लोकस ं या, िपकाच े उ पादन इ . चे वग करण करत असताना
ामु यान े दोन मह वा या बाबी िवचारात यावा लागतात . या अशा -
१) चल (Variable )
२) वारंवा रता (Frequency )
१) चल (Variable ) - सं या मक मािहतीचा अ यास करत असताना जी मािहती
बदलणारी असत े, या सा ंि यक य मािहतीला चल हणतात . उदा. वष , लोकस ं या,
वयोमया दा इ.
चलाम य े पुढील २ घटका ंचा अ यास क ेला जातो .
१) वग मया दा (Class Limit )
२) वगा तर (Interval )
१) वग मया दा (Class Limit ) :
जमा क ेलेली सा ंि यक य आकड ेवारी आकारमानान ुसार िविवध वगा त मा ंडली जात े.
वग मया दा ठरवत असताना उपल ध आकड ेवारीतील सवा त कमी म ू य व सवा त जा त
मू य दश िवणा या सं येचा िवचार क न वग मया दांची िनि ती क ेली जात े. वग मया दा ठरवत
असताना अन ेक गट / वग गट पाडल े जातात . यापैक य ेक गटातील / वगा तील सवा त
लहान म ू यांस व सवा त मोठ ्या मू यांस या वगा ची वग मया दा असे हणतात . यामधील
सवा त लहान म ू यांस 'किन मया दा' (Lower Limit ) व सवा त मोठ ्या मू यांस 'व र
मया दा' (Upper Limit ) असे हणतात . उदा. िव ा या चे गुण व स ं या प ुढे िदलेली आह े.
गुण िव ा या ची सं या
१० - २० ०८
२० - ३० १५
३० - ४० ०५ munotes.in
Page 4
ा यि क भ ूगोल
4 वरील उदाहरणाम य े गुण दश िव यासाठी वग मया दा / वग गट घ ेतले आहेत. याम य े १० -
२० या वग गटात ८ िव ा या ना १० ते २० गुण िमळालेले आहेत. याम ये १० ही किन
मया दा व २० ही व र मया दा ठरत े.
या वग मया देचे दोन कार पडतात .
१) खंडीत ेणी / वग मया दा (Discontinued )
२) अखंडीत ेणी / वग मया दा (Continued )
१) खंडीत ेणी / वग मया दा (Discontinued ) :
साधनसाम ु तील वार ंवारीता सारणी त यार करताना िदल े या य ेक चलाच े मू य मोजाव े
लागत े व याची सारणी तयार करावी लागत े. अशी सारणी करताना य ेक मू य ह े
एकमेकांपे ा व ेगळे असत े. याम य े सलगता नसत े. ते िविश म ू य याच म ू याच े
ितिनधी व करत े. अशाव ेळी तयार क ेले या ेणीला ख ंडीत ेणी अस े हणतात . उदा.
भूगोला या १५ िव ा या चे गुण पुढे िदलेले आहेत.
गुण िव ा या ची सं या
३५ २
४० ३
४५ २
५५ ४
७० ३
८७ १ एकूण १५
२) अखंडीत ेणी / वग मया दा (Continued ) :
अखंडीत वग मया देम ये कोण याही वगा ची व र मया दा ही या प ुढील वगा ची नेहमी किन
मया दा असत े. ही ेणी ख ंडीत पावल ेली नसत े. हणून या ेणीला अख ंडीत िक ंवा सलग
ेणी हणतात . या ेणीम य े या वग मयादेची िनवड क ेलेली असत े या वग मया देतील
किन मया दे या म ू यापास ून व र म ू यापय त या येणा या सव मू यांचे मोजमापन क ेले
जाते. मा व र मया देचे मू य हे या प ुढील वगा ची किन मया दा ठरत अस यान े ते पुढील
वगा त / मया देत समािव क ेले जाते. उदा. पुढे िव ा या चे गुण व िव ा या ची सं या सलग
ेणीम य े िदलेले आहेत.
munotes.in
Page 5
सं याशा ीय मािहतीच े व प
आिण म यवत वृ ी
5 गुण िव ा या ची सं या
१० - २० १७
२० - ३० ०८
३० - ४० १०
२) वगा तर (Interval ) :
एखा ा वगा ची व र मया दा व किन मया दा यातील फरकाला वगा तर अस े हणतात .
उदा. १०-२०, २०-३०, ३०-४० िकंवा १०-१९, २०-२९, ३०-३९.
हणज ेच १०-२० िकंवा १०-१९ या मधील फरक १० आहे हणून या वगा चे वगा तर १०
आहे.
२) वारंवा रता (Frequency ) :
एखा ा वग मया देम ये येणारे मू य पुन:पु हा िकती व ेळा आलेले आहे. याची मोजदाद करण े
हणज े वारंवारीता होय . ठरािवक वग मया देमधील परत परत आल े या म ू यां या स ं येला
वारंवारीता अस े हणतात . गुण िव ा या ची सं या (f)
१० - २० १७
२० - ३० ०८
३० - ४० १०
४० - ५० ०५
वरील उदाहरणामधील िव ा या ची सं या हणज ेच वार ंवा रता होय . याचाच अथ असा क
१०-२० गुण िमळिवणा या िव ा या ची एक ूण सं या १७ एवढी आह े. तर ४०-५० या
दर यान असणार े गुण केवळ ५ िव ा या नी िमळवलेले आहेत.
वारंवा रता िवतरण सारणी -
वारंवा रता िवतरण सारणी हणज ेच िदल े या साम ु ीसाठी यो य अस े वगा तर घ ेऊन या
येक वगा म ये समािव होणा या मू याची मोजदाद घ ेऊन या य ेक वगा समोरील
रका या त दंड िच हा ं या सहा यान े न द क ेली जात े या सारणीला वार ंवा रता िवतरण
सारणी अस े हणतात .
िसंधुदुग िज ातील ५० शेतक या ंचे भातश ेतीचे दर एकरी उ पादन िकलो ॅम म य े िदलेले
आहे. १०-२०, २०-३० हे वगा तर घेऊन वार ंवा रता सारणी तयार करा .
munotes.in
Page 6
ा यि क भ ूगोल
6 ५०, ४७, ४८, ५५, ४०, ३६, ३२, १३, २०, २५,
५७, ६०, ४५, ५३, ६४, १२, ३३, ३८, २२, २७,
५४, ३५, ३९, ४५, ४९, ३६, ४५, ४०, ५९, ४९,
२८, २७, २०, २८, ३१, १५, ५८, ४०, ३७, ५२,
४४, २७, ३४, ५४, २५, ३४, ५०, ३६, १९, १४,
वारंवा रता िवतरण सारणी - वग दंडिच ह े वारंवा रता
१० - २०
IIII ०५
२० - ३०
IIIIIIII १०
३० - ४०
IIIIIIIIII १२
४० - ५०
IIIIIIIII ११
५० - २०
IIIIIIII १०
२० - ७०
II ०२ एकूण ५०
४) संिचत वार ंवा रता िवतरण सारणी -
वारंवा रता िवतरण सारणीव न य ेक वग मया देम ये िकती घटकम ू ये आहेत हे समजत े.
यावेळी पिह या वगा ची वार ंवा रता द ुस या वगा या वार ंवा रत ेत िमळिवली जात े व येणारी
बेरीज या वगा समोर िलिहतात . या ब ेरजेत ितस या वगा ची वार ंवा रता जमा करतात ती
ितस या वगा या समोर िलिहतात . या माण े येक पुढ या वगा ची बेरीज काढ यासाठी
मागील वगा ची एक ूण बेरीज व या वगा ची वारंवा रता या माण े बेरजा क े या जातात
यालाच स ंिचत वार ंवा रता (cf) असे हणतात .
संिचत वार ंवा रता सारणीच े २ कार -
१) पे ा कमी स ंिचत वार ंवा रता (Less than cumulative frequency )
२) पे ा जा त स ंिचत वार ंवा रता (More than cumulative frequency )
munotes.in
Page 7
सं याशा ीय मािहतीच े व प
आिण म यवत वृ ी
7 १) पे ा क मी संिचत वार ंवा रता (Less than cumulative frequency ) -
यावेळी वारंवा रता सारणीम य े कमी वगा तराकड ून जा त वगा तरा या वार ंवा रत ेकडे
वारंवा रत ेची बेरीज करत ग े यावर तयार होणा या वारंवा रत ेस पे ा कमी स ंिचत वार ंवा रता
हणतात . या सारणीम य े पिह या व गा ची एक ूण वार ंवा रता ही याप ुढील वगा या एक ूण
वारंवा रत ेपे ा कमी असत े.
२) पे ा जा त स ंिचत वार ंवा रता (More than cumulative frequency ) -
यावेळी िदले या वार ंवा रता सारणीम य े एकूण वार ंवा रता ही सवा त कमी वगा तरा या
समोर िलिहली जात े व यामध ून पिह या हणज ेच याच वगा ची असणारी वार ंवा रता वजा
केली जात े व य ेणारे उ र याप ुढील हणज ेच दुस या वगा तरासमोर िलिहली जात े. या
उ रात ून पु हा द ुस या वगा ची वार ंवा रता वजा क ेली जात े व ती ितस या वगा ची संिचत
वारंवा रता हण ून िलिहली जात े. या माणे येक वगा ची वार ंवा रता ही यामध ून वजा
क न मा ंडले या वार ंवारीत ेला पे ा जा त स ंिचत वार ंवा रता अस े हणतात . पे ा जा त
संिचत वार ंवारीत ेम ये नेहमी या वगा ची वार ंवा रता ही याप ुढील वगा या वार ंवा रत ेपे ा
जा त असत े.
संिचत वार ंवा रत ेचे भौगोिलक िव ेषणात मह व -
१) िदले या आकड ेवारीच े िव ेषण कर यासाठी स ंिचत वार ंवा रता सारणी उपयोगी
ठरते.
२) संिचत वार ंवा रता व तयार कर यासाठी / कमानी व तयार कर यासाठी सिचत
वारंवा रता सारणी उपयोगी ठरत े.
३) िदले या साधनसाम ु ीतील / िवतरणातील तफावत स ंिचत वार ंवा रता सारणीव न
ल ात य ेते.
४) म यमा , चतुथ क, दशमक े काढ यासाठी स ंिचत वार ंवा रता उपयोगी ठरत े.
खालील िदल ेली आकड ेवारी िस ंधुदुग िज ातील ५० खेड्यांचे पज य िवतरण दश िवते.
याव न २० -३०, ३० - ४०, ४० - ५०, हे वगा तर घ ेवून संिचत वार ंवा रता िवतरण
सारणी तयार करा .
६९, ३८, ३६, ४६, ४३, ३०, ६२, ३५, ४५, ४६, ३३,
२८, २७, ६४, २९, ४१, ३९, ५०, ४४, ४६, ५०, ३०,
२५, ४८, ३५, ३३, ३१, ३२, ३६, ३६, ३१, ३४, ४५,
४९, ४३, ४८, ३९, ४१, ६७, ५३, ६९, ३६, ५०, ३७,
२२, ४३, ४४, ४७, ४६, ३७,
munotes.in
Page 8
ा यि क भ ूगोल
8 वग दंडिच ह े वारंवा रता पे ा कमी स ंिचत वारंवा रता पे ा जा त स ंिचत वारंवा रता
२० - ३० IIII ०५ ५ ५०
३० - ४० IIIIIIIIIIIIIIII १९ २४ ४५
४० - ५० IIIIIIIIIIIIII १७ ४१ २६
५० - ६० IIII ०४ ४५ ९
६० - ७० IIII ०५ ५० ५ एकूण ५०
१.३ वारंवा रता िवतरणाच े आल ेखा मक िच ण
वारंवा रता िवतरण सारणीव न जर आपण आ लेख तयार क ेला. तर या आल ेखाव न
िदले या आकड ेवारीची बरीच मािहती प होत े. ही मािहती अिधक प कर यासाठी
आकड ेवारीची गरज वार ंवा रत ेचे गुणा मक िच ण क न भौगोिलक घटका ंिवषयी प
मािहती िम ळिव यासाठी आल ेख प तीचा वापर क ेला जातो . खालील प ती ार े
वारंवा रत ेचे िवतरण आल ेखा मक प तीन े दाखवता य ेते.
१) तंभालेख (Histogram )
२) वारंवा रता बह भ ुजाकृती आल ेख (Frequency Polygon )
३) वारंवा रता व (Frequency Curve )
४) संिचत वार ंवा रता व (Cumulative Frequency Curve / Ogive )
१) तंभालेख / वारंवा रता आल ेख (Histogram ) : िदले या आकड ेवारीचा
वारंवा रत ेचे िवतरण आल ेख कागदावर त ंभा या सहा यान े दश िव यास तयार होणा या
आकृतीला त ंभालेख अस े हणतात .
तंभोलख तयार करत असताना ' ' अ ावर वगा तर (वग मया दा) घेतली जात े. तर 'य'
अ ावर वार ंवा रता दश िवली जात े. तंभालेख तयार करताना य ेक त ंभाची जाडी िक ंवा
ंदी सारखीच असली पािहज े व त े सव तंभ एकम ेकांना िचकट ून असल े पािहज ेत.
तंभा या उ ंचीम य े मा वार ंवा रत े या िवतरणान ुसार बदल होतो .
तंभालेखाचे भौगोिलक िव ेषणातील मह व -
१) तंभालेखाव न वार ंवा रत े या िवतरणाच े व प चटकन ल ात य ेते.
२) वारंवा रत ेचे क ीकरण म यभागी िक ंवा एका टोकाला झाल ेले असेल तर त े ल ात
घेवून तीच े अितक ीकरण व िव क ीकरण समजत े.
३) तंभालेखा ार े बह लक काढता य ेतो.
४) घटका ंचा तुलना मक अ यास करता य ेतो.
५) तंभालेखा ार े िवतरणामधी ल िवषमता कोण या कारची आह े हे समजत े. munotes.in
Page 9
सं याशा ीय मािहतीच े व प
आिण म यवत वृ ी
9 उदा. तंभालेखा ार े बह लक काढत असताना बह लक हा उजवीकड े क ीत झाला अस ेल
तर याला ऋण िवषमता अस े हणतात . या उलट तो डावीकड े क ीत झाला अस ेल तर
याला धन िवषमता अस े हणतात .
आलेख -
२) वारंवा रता बह भुजाकृती आ लेख (Frequency Polygon ) : िदले या
आकड ेवारीतील वार ंवा रत ेचे िवतरण आल ेख कागदावर यो य माणान ुसार र ेषालेखा ार े
दश िव यास तयार होणा या आकृतीला बह भ ूजाकृती अस े हणतात .
वारंवा रता बह भ ूजाकृती तयार करताना ' ' अ ावर वग म य तर 'य' अ ावर वार ंवा रता
दश िवली जात े. िदले या आकड ेवारीन ुसार िब ंदू िनि त क न त े िबंदू एकम ेकांना मश :
रेषे या सहा यान े जोडल े जातात . ते जोडतना प ीचा वापर क ेला जातो . अशा र ेषालेखाला
अनेक बाज ू अस यान े ितला बह भ ूजाकृती हणतात .
३) वारंवा रता व (Frequency Curve ) :
वारंवा रता व हा र ेषालेखाचाच एक कार आह े. पण याम य े कोण याही भ ुजा न दश िवता
आलेखाचा आकार न बदलता िब ंदू एकम ेकांना हातान े जाडल े जातात व याव न तयार
होणा या व ालाच वार ंवा रता व अस े हणतात .
वारंवा रता बह भ ूजाकृती व वार ंवा रता व ाच े भौगोिलक िव ेषणात मह व - munotes.in
Page 10
ा यि क भ ूगोल
10 १) वारंवा रता िवतरणाची क पना चटकन ल ात य ेते.
२) तुलना मक अ यास करता य ेतो.
३) वारंवा रत ेचे क ीकरण कोण या बाज ूला झाल ेले आहे हे समजत े.
४) े िनि त करता य ेते.
खालील आकड ेवारी काही िनवडक िठकाणा ंची उंची िमटर म य े दश िवली आह े. याव न ०
- २०, २० - ४०, हे वगा तर घ ेवून वार ंवा रता िवतरण सारणी , तंभालेख, वारंवा रता
बह भूजाकृती आल ेख व वार ंवा रता व तयार करा .
२७, ३७, ७७, ०८, २८, २७, ५२, २२, ११०,
१३, ५६, ८७, १६, ११८, ३९, १९, ९५, ०८,
२२, १००, ३५, ११, ७५, ८५, ५६, ७७, १६,
२८, १०९, १७, ०५, ८७, ०९, ७७, २९, ०६,
४८, ४९, ४२, ५७, ०६, २४, ६३, ७५, १८,
६६, ३७, ७७, ३३, ०८, वग दंडिच ह े वारंवा रता
० - २० IIIIIIIIIIIIII १७
२० - ४० IIIIIIIIII १२
४० - ६० IIIIII ०७
६० - ८० IIIIII ०७
८० - १०० IIII ०४
१०० - १२० IIII ०४
आलेख -
४) संिचत वार ंवा रता व (Cumulative Frequency Curve / Ogive ) : यावेळी
वारंवा रत े या िवतरणाव न स ंिचत वार ंवा रत े या आकड ेवारी या उपयोग क न ती
आलेखावर र ेषे या साहा यान े दश िवली जात े व यात ून तयार होणा या आकृतीला
संिचत वार ंवा रता व अस े हणतात . हा व दोन कारचा असतो .
१) पे ा कमी कमानी व / संिचत वार ंवा रता व
२) पे ा जा त कमानी व / संिचत वार ंवा रता व
munotes.in
Page 11
सं याशा ीय मािहतीच े व प
आिण म यवत वृ ी
11 १) पे ा कमी कमानी व / संिचत वार ंवा रता व :
हा व तयार करत असताना वार ंवा रत ेची कमी वगा तराकड ून जा त वगा तराकड े बेरीज
केली जात े. आलेली स ंिचत वार ंवा रता या वग मया देमधील व र मया देला माण घ ेऊन /
मानून िबंदू िनि त केले जातात व ह े िबंदू रेषेत जोडल े जातात याव न तयार होणा या
व ाला प े ा कमी स ंिचत वार ंवा रता व अस े हणतात .
२) पे ा जा त कमानी व / संिचत वार ंवा रता व :
यावेळी िदले या वार ंवा रता सारणीम य े एकूण वार ंवा रता ही सवा त कमी वगा तरा या
समोर िलिहली जात े व यामध ून पिह या हणज ेच याच वगा ची असणारी वार ंवा रता वजा
केली जात े व य ेणारे उ र याप ुढील ह णजेच दुस या वगा तरासमोर िलिहल े जात े. या
उ रात ून पु हा द ुस या वगा ची वार ंवा रता वजा क ेली जात े व ती ितस या वगा ची संिचत
वारंवा रता हण ून िलिहली जात े. या माण े येक वगा ची वार ंवा रता ही यामध ून वजा
क न मा ंडले या वार ंवारीत ेला पे ा जा त स ंिचत वार ंवा रता अस े हणतात . पे ा जा त
संिचत वार ंवा रतम य े नेहमी या वगा ची वार ंवा रता ही याप ुढील वगा या वार ंवा रत ेपे ा
जा त असत े.
हा व तयार करताना वार ंवा रत ेची एक ूण बेरी ही पिह या वगा या किन मया देला माण
घेऊन मा ंडली जात े व या पुढे येक वगा ची जा त वगा तराकड ून कमी वगा तराकड े बेरीज
केली जात े व आल ेली स ंिचत वार ंवा रता या वग मया देमधील किन मया दा घेऊन िब ंदू
िनि त क ेले जातात व त े िबंदू रेषे या सहा यान े जोडल े जातात . यालाच प े ा जा त
संिचत वार ंवा रता व / कमानी व अस े हणतात .
संिचत वार ंवा रता व ाच े भौगोिलक िव ेषणात मह व :
१) संिचत वार ंवा रता व ा ार े िवतरणाच े अखंड िच उभ े राहत े.
२) संिचत वार ंवा रता व ा ार े म यगा काढता य ेते.
३) संिचत वार ंवा रता व ा ार े चतुथ के व दशमक े काढता य ेतात.
४) संिचत वारंवा रता व ा ार े म यगाप े ा कमी व जा त िक ंमत ल ात य ेते.
५) भौगोिलक िव ेषण कर यासाठी या व ाचा उपयोग होतो . munotes.in
Page 12
ा यि क भ ूगोल
12 १.४ क ीय व ृ ी मापना या प ती
एखा ा भौगोिलक द ेशाची आकड ेवारी फार ग ुंतागुंतीची असतो . अशा सा ंि यक य
आकड ेवारीव न िक ंवा िविव ध कार या त याव न भौगोिलक िक ंवा आिथ क घटकाच े
प ीकरण करता य ेत नाही . आकड े इतके असतात क कशाची त ुलना करावयाची आह े हे
समजण े फार कठीण जात े. या यासाठी स ं याशा ीय प तीचा अवल ंब भूगोलाम य े
करावा लागतो . एखा ा द ेशा या िक ंवा िठकाण या हवा मानाच े वग करण करताना आपण
तेथील हवामान घटकाची सरासरी ल ात घ ेतो. उदा. सरासरी तापमान , सरासरी पज य
इ यादी या स ं या (सरासरी ) या या घटकाच े िनरी ण क न काढल े या असतात व या
सं या या या घटका ंचे ितिनधी व ( ाितिनधीक ितपादन ) करीत असतात . हणूनच
भौगोिलक अ यासास अशा ाितिनधीक व पाची मदत होत असत े.
म यवत व ृ ी िक ंवा क ीय व ृ ी -
सरासरी -
'सरासरी ' हे एक साधन साम ु ीचे ितिनधी व करणार े ितक होय . यास क ि य व ृ ीचे
प रमाण अस े हटल े जात े. िदले या आकड ेवारीव न ठरिवल ेला व या आकड ेवारीच े
ितिनधी व करणारा अ ंक हणज े या आकड ेवारीच े प रमाण होय . ठरािवक आकड ्यां या
णालीच े िकंवा एका प े ा जा त आकड ्यां या सम ुदायाच े प ीकरण क ेवळ एक स ं या
करते. याला सरासरी अस े हणतात . एका िवधाना ार े गुंतागुंतीची आकड ेवारी असल े या
गटाचे क ीकरण क ेले जात े. भूगोला या अ यासात िविवध घटका ंचा अ यास क ेलेला
असतो . काही घटक अस े असतात क थलकालान ु प (तापमान, पज य, िपके, वन पती )
सतत बदलत असतात . कोण याही िठका णी स ं हीत साधनसाम ु ीचे वग करण क ेले तरी
या यािवषयी एखादा िनण य घेणे अवघड असत े. परंतु सव साधारणपण े या साधनसाम ु ीचे
म य काढ यास िनण य घेणे अवघड असत े.परंतु सव साधारणपण े या साधनसाम ु ीचे म य
काढ यास िनण य घ ेणे सुलभ जात े. हणज ेच ाित िनधीक स ं या काढण े हे
सं याशा ातील मह वाची बाज ू िकंवा तं आह े. या ाितिनधीक स ं येलाच (मा य) क ीय
वृ ी अस े हणतात .
उदा. एखा ा िठकाणच े वािष क पज यमानाचा िवचार क े यास आपणास या िनरी ण
कालावधीतील सव च वषा चे पज याचे आकड े ल ात ठ ेवणे सहज श य नसत े. हणून
सरासरी या सहा यान े आपण पज यमान सा ंगू शकतो . (कोकणात २५० से.मी. पाऊस
पडतो ) ही सरासरी या घटकाच े ाितिनधी व करीत असत े. सरासरी हा एक िविवध
कारचा घटक अस ून तो एका गटाच े ाितिनधी व करतो . िदले या स ं हीत णाली चे
मापन करतो . सं याशा ीय सरासरी स ंबंधी दोन ह ेतू असत े. पिहला ह ेतू हणज े िदले या
आकड ेवारीच े ाितिनधी व करण े व दुसरा ह ेतू हणज े िविवध घटकातील त ुलना करण े होय.
म यवत व ृ ी मापना या प ती -
अ) सरासरी समा ंतर मा य
ब) म यमा म यका / म यगा
क) बह लक munotes.in
Page 13
सं याशा ीय मािहतीच े व प
आिण म यवत वृ ी
13 १.५ सरासरी समा ंतर िक ंवा गिणत मा य
सं याशा ातील सवा त सोपी प त अस ून हीचा वापर मोठ ्या माणात क ेला जातो .
एखा ा पदमाल े या सम त पदातील स ं या या ब ेरजेला या पदमाल ेतील पदस ं येने भाग
िद यावर ज े प रमाण य ेते याला सरासरी अस े हणतात िक ंवा सव घटका ं या िक ंमतीची
बेरीज क न यास घटका ं या स ं येने भागल े असता ज े गुणो र य ेते यास समा ंतर मा य
असे हणतात . सरासरी क ीय व ृ ीचे असे एकम ेव प रमाण आह े क त े सव िवतरण
मू यावर आधारीत असत े.
समांतर मा य काढ यासाठी प ुढील स ू ाचा वापर केला जातो .
सू
१) x= xn
२) x = fx n
३) x = fm n
४) x=सरासरी (mean )
५) बेरजेचे िच ह (Summation sign )
६) x=मू य (Value )
७) f=वारंवा रता (Frequency )
८) M=मू य (midpoint )
९) N=एकूण वार ंवा रता (Total Frequency )
१०) x=मू यांची बेरीज
(िटप - फ एकच घटक असता ना हे सू वापराव े)
x= xn
समांतर मा य = घटका ं या िक ंमतीची ब ेरीज / घटका ंची सं या x= समांतर मा य (समेशन) बेरीज x= सव प रमाणा ंची बेरीज िक ंवा घटका ं या िकंमतीची ब ेरीज N=पदांची सं या munotes.in
Page 14
ा यि क भ ूगोल
14 उदा. १) S.Y.B.A. या वगा तील ३१ िव ा या स पुढील माण े माक िमळाले या याव न
समांतर मा य काढा .
िवषय गुण
ES ७३
Geo ८०
Marthi ४२
Hindi ४८
English ३५
BC ४२
एकूण x=३२०
x=३२० N=६ (िवषया ंची सं या =६) x= xn x=३२०/६ x=५३.३३
सरासरी = ५३.३३
२) एका शहरातील १० कुटुंबाचे मािसक उ प न िदल ेले आहे या याव न समा ंतर म य
काढा. कुटुंब मािसक उ प न
१ २८०
२ १८०
३ ९६
४ ९८
५ १०४
२ २५
७ ८०
८ १००
९ ६००
१० २०० एकूण १८६३
munotes.in
Page 15
सं याशा ीय मािहतीच े व प
आिण म यवत वृ ी
15 x=१८६३ N=१० x= xn x=१८६३/१० x=१८६.३०
सरासरी =१८६.३०
समांतर म य काढ या या प ती - समांतर मा य काढ यासाठी दोन प त चा उपयोग
केला जातो . या प ती प ुढील माण े -
१) ऋजुरीती / प ती
२) लघुरीती / प ती
१) ऋजुरीती / प ती :
साधनसाम ु ीम य े िकंवा िदल े या साधनसाम ु ीम य े मू य िक ंवा वार ंवा रता िदल ेली
अस यास या प त चा वापर दोन प तीन े केला जातो .
१) खंडीत ेणी
२) अखंडीत ेणी
१) खंडीत ेणी :
या ेणीम य े समांतर मा य काढतना खालील स ु ाचा वापर क ेला जातो . x=मू य (Value ) f= वारंवा रता (Frequency )
N=एकूण वार ंवा रता (Total Frequency )
fx =मू यांची बेरीज
उदा. १) ४० िव ा या चे माक खाली िदल ेले आहेत याव न समा ंतर मा य काढा . मा स िव ाथ fx
२० ६ १२०
३० ८ २४०
४० ११ ४४०
५० ७ ३५०
६० ४ २४०
७० ४ २८० एकूण ४० १६७०
munotes.in
Page 16
ा यि क भ ूगोल
16 fx = १६७० N=४० x= xn x=१६७०/४० x=४१.७५
समांतर मा य = ४१.७५
उदा. २) पुढे िदले या आकड ेवारीव न समा ंतर मा य काढा .
मू य वारंवा रता fx
१० २ २०
१५ ४ ६०
२० ६ १२०
२५ १२ ३००
३० ६ १८०
३५ ४ १४०
४० २ ८० एकूण ३६ ९००
fx =९०० N=३६ x= xn x=९००/३६ x=२५
समांतर मा य = २५
२) अखंडीत सलग ेणी :
भौगोिलक आकड ेवारी अख ंड पदमाल ेत जर ऋज ु प तीत अस ेल तर खालील माण े
सरासरी काढतात .
munotes.in
Page 17
सं याशा ीय मािहतीच े व प
आिण म यवत वृ ी
17 पाय या -
अ) थमत : िदले या गटाच े िकंवा वगा चे वग म य काढण े.
ब) वग म य व वार ंवा रता या ंचा गुणाकार करण े.
क) वग म य व वार ंवा रता या ंचा गुणाकार क े यानंतर याची ब ेरीज करण े.
ड) आले या ब ेरजेला एक ूण वार ंवारीतन े भागण े.
इ) येणारा भागाकार हणज े समांतर मा य होय .
उदा. १) खालील िदल े या आकड ेवारीव न समा ंतर मा य काढा .
३० ४७ ३७ ३८ ३६ ३५ ४४ ३२ ३१ २०
२२ २७ ५४ ४५ २७ ३ ३६ २८ ५८ ४०
५० ३१ १३ २८ १५ ४३ २ ३७ २७ ११
३७ ११ ४६ ४४ ३ २९ ३० १ ४१ ३२
५१ ४७ ३२ २ ३४ ३९ २१ ४२ १२ २३
१३ ३८ ४५ ३३ १५ २० २३ १६ २७ ३९
४६ ४८ १८ २९ २७ ४३ ३३ २० ३८ ४०
३९ २४ ३५ २१ ३४ २९ २९ ४२ ४१ २२
१९ ५२ ५३ ३५ ५६ ४८ ५७ ३३ ३१ ५९
४९ ३६ २० ५५ २९ ३४ २७ ४९ २५ ३०
या ेणीसाठी खालील स ू ाचा वापर क ेला जातो . x = fm / n x= समांतर मा य बेरीज m= वग म य fm = वारंवा रता ƒ वग म य fm= मू यांची गुणाकार क े यानंतर बेरीज
मू य वारंवा रता वग म य fm
० - १० ५ ५ २५
१० - २० १० १५ १५०
२० - ३० २५ २५ ६२५
३० - ४० ३० ३५ १०५०
४० - ५० २० ४५ ९००
५० - ६० १० ५५ ५५० एकूण १०० ३३००
munotes.in
Page 18
ा यि क भ ूगोल
18 fm=३३००
N=१००
x = fm n
x=३३०० /१००
x=३३
समांतर मा य = ३३
२) लघुरीती - समांतर मा य काढ या साठी या प तीचाही वापर क ेला जातो . या प तीत
िदले या म ु यातून एक समान स ं या वजा क ेली जात े व तयार झाल ेली स ुधारीत म ू ये
िकंवा आकड े लहान बनतात . यांना वार ंवारीत ेने गुणुन या ग ुणाकाराची ब ेरीज क ेली जात े
हणज ेच व प ुढील स ू ाचा उपयोग क न समा ंतर मा य का ढले जाते.
१) खंडीत ेणी - x = A + fd N
िकंवा x = A + fd N C Aगृहीत मा य fवारंवा रता dमू य - गृहीत मा य Nएकूण वार ंवा रता CCommon Factor
पाय या -
अ) थम म ू यातील कोणत ेही एक म ू य / सं या ग ृहीत मा य धराव े.
ब) येक मू यातून गृहीत मा य वजा क न d काढून यावा .
क) मू यातून गृहीत मा य वजा क े यावर आल े या य ेक मू याला / d ला गटातील
वारंवारीत ेने गुणावे.
ड) शेवटी सवा ची बेरीज करण े.
इ) येणा या बेरजेस एक ूण वार ंवारीतन े भाग यास जो भागाकार य ेतो यात मा य
िमळवून समा ंतर मा य तयार होत े. munotes.in
Page 19
सं याशा ीय मािहतीच े व प
आिण म यवत वृ ी
19 उदा. १) मा स िव ाथ d Fd
२० ८ - २० (२० - ४०) - १६०
३० १२ - १० (३० - ४०) - १२०
४० २० - ०० (४० - ४०) ००
५० १० + १० (५० - ४०) + १००
६० ६ + २० (६० - ४०) + १२०
७० ४ + ३० (२० - ४०) + १२०
६० २०
x = A + fd N 40 60 /6040 1/141=
उदा. २) अखंडीत ेणी x = A + fd N Aगृहीत मा य f वारंवा रता d मू य - गृहीत मा य Nएकूण वार ंवा रता
उदा. २) मा स िव ाथ वग म य d fd
० - १० ५ ५ - २० - १००
१० - २० १० १५ - १० - १००
२० - ३० २५ २५ ०० ००
३० - ४० ३० ३५ १० ३००
४० - ५० २० ४५ २० ४००
५० - २० १० ५५ ३० ३००
१०० ८००
x = A + fd N munotes.in
Page 20
ा यि क भ ूगोल
20 25 800 /10025 833
=
समांतर मा याच े गुण / दोष
समांतर मा याच े गुण / फायद े -
समांतर मा याचा मोठ ्या माणावर उपयोग क ेला जातो .
१) समज यास सोप े :
समांतर मा य काढ यासाठी य ेक प त सोपी अस यान े ती ताबडतोब ल ात य ेते
हणज ेच समा ंतर मा य समज यास सोपी आह े.
२) गणनेस साप े :
ही प त इतर काही प तीप े ा काढ यास सोपी आह े. सहजासहजी ल ात य ेते मा याचा
अथ सामा य वाचकाला स ु ा प होत अस यान े वापरत ेवेळी जा त ख ुला याची
आव यकता भासत नाही .
३) सव घटक म ू यांवर आधारीत :
गिणत मा य काढ यासाठी सव मू यांची िक ंवा िकंमतीची ब ेरीज करावी लागत े. उपल ध
सं या मक मािहतीच े पृथ:करण क न मा य ठरिवल े जाते. हणज ेच पदावलीतील पदाचा
िकंवा मू यांचा िवचार केला जातो . हणूनच य ेणारे समांतर मा य सव घटका ंवर अवल ंबून
असत े.
४) बेरजा करता य ेतात :
समांतर मा यावर न ंतर बैजीक ि या करता य ेतात. बीजगिणत स ू ात याचा वापर मोठ ्या
माणात करता य ेतो.
५) नमुना थ ैय ता :
पदावलीतील पदा ंची स ं या वाढली तरी याचा मा यावर फारसा प रणाम होत नाही .
याचे मू य ि थर असत े. उपल ध स ं या मक मािहतीच े पृथ:करण क न मा य काढल े
जात अस यान े ते िनि त व ठाम असत े. याला नम ुना थ ैय ता अस े हणतात .
दोष / तोटे / मया दा -
समांतर मा याच े मोठ्या माणात फायद े असल े तरी या या वर काही मया दा पडल े या
िदसून येतात. या खालील माण े आहेत.
१) टोका या स ं येत बदल झाला तर याचा मा यावर प रणाम होतो . िवशेषत: पदाची
सं या कमी अस यास ह े अिधक घडत े. munotes.in
Page 21
सं याशा ीय मािहतीच े व प
आिण म यवत वृ ी
21 २) मोठ्या अंकाला जा त मह व तर लहान अ ंकाला कमी मह व य ेते.
३) ब याचदा मा य ह े या अ ंकाव न काढल े जाते याप े ा ते वेगळे असत े. उदा. २, ९,
३ = १४/३ = ४.६६
४) वगा ची काल मया दा िदल ेली नस ेल तर वग म य काढता य ेत नाही . याचा प रणाम
समांतर मा यावर होत असतो .
५) जा त अच ूकते या ीकोनात ून एखादी स ं या द ुल ि त जा याची श यता असत े.
६) सहज य न करता य े यासार या ग ुणवैिश ्यासाठी मा याचा वापर करता य ेत
नाही. उदा. मानवाची ब ुि , आरो य इ यादी .
७) सहज िनरी णात ून ते ा होत नाही . वारंवा रता आल ेखाम य ेही दाखिवता य ेत नाही .
८) जरी आकड ेवारी स ंचाचे समांतर मा य सारख ेच असल े तर साम ु ीतील पद े सारखीच
असतील अस े नाही. उदा. ३ + ४ + ५ १२ /३ = ६
उपयोग -
१) मा य ह े सवा त साध े आिण सव सामा यपण े सव यवहारात वापरल े जाते.
२) एकाच कार या उ पादनाची नगा या िव िक ंमत ठरिव यासाठी उपयोग होतो .
३) सरासरी उ पादन काढ ून पुढील वष या उ पादनाचा अ ंदाज काढ यासाठी उपयोग
होतो. याचबरोबर भ ूगोलात हवामान अ ंदाजाची सरासरी काढ ून (पज य, तापमान )
पुढील अ ंदाज बा ंध यासाठी उपयोग क ेला जातो .
४) सामािजक आिण आिथ क अ यासा या अन ेक बाबतीत समा ंतर मा या या उपयोग
केला जातो . उ ोग यवसाय व यापाराम य े याचा उपयोग सरा स होतो . सव सामा य
य स ु ा समा ंतर मा याचा उपयोग करीत असतात . सरासरी नफा -िकंमत अशा
कार या गो ी मा या ार े प क ेले जातात .
१.६ म यगा / म यमा
भौगोिलक िवतरणातील िनरी ण अ ंकाचे दोन समान िवभाग करणा या सं येस म यगा अस े
हणतात िक ंवा भौगो िलक घटकाची मा ंडणी चढ या िक ंवा उतर या मान े केली असता
बरोबर म यभागी य ेणा या िकंमतीस म यगा अस े हणतात . उदा. पुणे शहराजव ळून
वाहणा या मुठा नदी या पा ाचा िवचार क े यास सव साधारणत : नदी या वािष क पा या या
पातळीवर १९६१ साली पानश ेत फुटून जी द ुघ टना घडली याव ेळ या म ू याचा अ ंतभा व
या िवतरणात क ेला तर सरासरी पा याची पात ळी ही नेहमी असणा या पातळीपे ा
िकतीतरी अिधक असत े व एक ूण िवतरणा या क ीय व ृ ी ही सरासरी यथा यो य क
शकणार नाही . अशा ि थतीत सरासरी अथवा म यगा प रमाणाचा उपयोग क ेला जातो . munotes.in
Page 22
ा यि क भ ूगोल
22 िदलेली भौगोिलक आकड ेवारी उतर या ेणीने िकंवा चढ या ेणीने घेवून पु हा या ंची
मांडणी क ेली जात े व या याव न या पद माल ेतील म यगा काढ यात य ेते. म यगा ार े
पदमालीकेतील स ं या दोन भागात िवभाग या जातात . संपूण पणे भौगोिलक आकड ेवारीच े
दोन भाग झा यानंतर एका भागात म यगाप े ा सव आकड े कमी म ू याचे व दुस या भागात
जा त म ू याचे असतात . म यगा काढ यासाठी सव साधारणपण े खालील स ू ाचा वापर
होतो.
सू व गिणत
म यगा ग ुण / फायद े -
१) सोपेपणा - याची िनि त या या िदल ेली अस यान े समज यास स ुलभ व सोप े होते.
२) संगणनेस सोप े - या माण े म यगा समज यास सोप े असत े या माण े काढ यासाठी
ते सोपे आहे. सव साधारण य ला स ु ा याचा उपयोग करता य ेतो.
३) शेवट या िक ंमतीचा / सं येचा अवा तव भाव नाही - टोका या स ं येत बदल झाला
तरी म यक ेवर याचा काही प र णाम होत नाही . हणज ेच अंत िकंमतीचा भाव िक ंवा
दो हीकड या आकड ्या या प रणामापास ून म यगा ६० याच माण े ४०, ५०, ६०,
७०, १५०० असल े तरी म यगा ६० टोका या स ं येचा फरक पडत नाही .
४) मु अंतवग - शेवट या वगा ची काल मया दा िदली नसली तरी म यगा काढता य ेते.
५) गुणा मक साम ु ीतही दाखिवता य ेते - सामु ी जे हा ग ुणा मक असत े ते हा याला
सं या मक व प य ेत नाही . अशा ग ुणा मक साधन साम ु ीची सरासरी काढता य ेत
नाही. परंतु म यगा काढता य ेते. उदा. ामािणकपणा , बु ीम ा , स दय या गो ी
अंका या पान े मोजणे कठीण असत े तयंचा म लाव ून म यगा िनि त करता य ेते.
६) आलेखाने ठरिवता य ेते -आलेख कागदावर आल ेखाचा उपयोग क न म यगा काढता
येते. या यासाठी स ंचीत वार ंवा रता आल ेख (ogive ) हा आल ेख काढ ून म यगा
काढता य ेते.
७) आकड ेवारीतही आढ ळते - िविवध कारची साधनसाम ु ी उपल ध क े यास या
आकड ेवारीतही म यगा काढता य ेतात.
दोष / मया दा / तोटे -
१) घटक कमी असतील व या या म ू यांत फार फरक अस ेल तर म यगा यो य
ितिनधी व करीत नाहीत . जे हा आकड े कमी जा त कारच े असतात त े हा म यगा
िन पयोगी ठरत े. उदा. १०, १२, १४, १६, ६०, २००, ६०० जर घटका ं या
िकंमती अशा असतील तर याच े म यगा म ू य १६ येते. पण हा आकडा सव
साधनसाम ु ीचे यो य ितिनधी व करीत नाही .
२) बीजगिणतात याचा जशाचा तसा वापर होत नाही . munotes.in
Page 23
सं याशा ीय मािहतीच े व प
आिण म यवत वृ ी
23 ३) घटकातील पदाची स ं या वाढ यास म यगा बदलत े हणज े ि थर म ू य नसत े.
४) सव मू यावर य पण े आधारीत नसत े. म यगा काढतना िदल े या आकड ेवारीतील
सव िकंमतीचा य उपयोग करावा लागत नाही . हणून ती सव िकंमतीवर आधारीत
नसते.
उपयोग -
म यगा समज यास सोपी अस यान े याचा य वापर मोठ ्या माणावर होतो . वैयि क
आकड ्याचे मोजमापन कठीण अस ून याची त ुलना करावयाची झा यास म यमाचा उपयोग
केला जातो . यामुळे काही सामािजक बाबतीत पगार संप ी वाटप या ग ुणवैिश याबाबत
यांचा उपयोग मोठ ्या माणावर होतो . परंतु आिथ क व यापारी उलाढालीत याचा उपयोग
होत नाही . म यगा आकड ेवारीच े दोन भाग पड तात. िन मे घटक म यगा म ू यापे ा मोठ े
असतात . िन म घटक म यमा म ू यापे ा लहान असतात . हणज ेच म यवत िठकाण
िनि त कर यासाठी म यगाचा उपयोग होतो .
आलेखाचा म यगा
१.७ बह लक
भौगोिलक आकड ेवारीतील या घटका ंची वार ंवा रता सवा त अिधक असत े. या िक ंमतीस
बह लक अस े हणतात . हणज ेच या िक ंमती भोवती जा तीत जा त िनरी ण म ू ये
एकि त य ेतात ती िक ंमत हणज े वह लक होय . भौगोिलक घटका या िवतरणात बह लकाचा
उपयोग ब याचवेळा केला जातो . िक येक िवतरणाम य े एकाप े ा जा त बह लक अस ू
शकतात . यास म ु य बह लक व उपबह लक अस े हणतात . िवतरणात एखा ा वगा त
वारंवारीता जा तीत जा त असत े. पण यािशवाय इतर वगा त वार ंवा रता कमी होऊन प ु हा
एखा ा वगा म ये वाढू शकत े. अशा िवतरणात एकाप े ा जा त बह लक असतात . उदा.
नदीने वाह न आणल े या गा ळाचे आकारमान या या यासाव न ठर िवतात . मु य नदी व
उपनदी या ं या स ंगमानंतर या भागात ून आपण एखादा नम ुना घेऊन आकारमानाच े िवतरण
मांडले तर यात बराचसा भाग हा कमी आकारमान असल ेला आह े असे िदसून येते.
उपनदीबरोबर आल ेला गा ळ हा साहिजकच मोठ ्या आकारमानाचा असतो . हणूनच
वारंवा रता प ुढ या वगा त वाढल ेली िदसत े. अशा िवतरणास ि िशखरी िवतरण िक ंवा
दोनपे ा जा त िठकाणी वार ंवा रता एकि त होत अस ेल तर बह िशखरी िवतरण अस े
हणतात .
munotes.in
Page 24
ा यि क भ ूगोल
24 उदा. खालील १० िव ा या चे माक िदलेले आहेत या याव न बह लक काढा . िव ाथ मा ंक मा स
१ १०
२ २१
३ २४
४ ३१
५ ३१
६ २७
७ ३१
८ २०
९ ३५
१० २५
१० = १
२० = १
२१ = १
२४ = १
२५ = १
२७ = १
३१ = ३
३५ = १
बह लक = ३१ (कारण ३१ ही सं या जा त व ेळा (३) आली आह े.)
बह लकाची िक ंमत ठरिव यासाठी थम कोण या वगा त जा तीत जा त वार ंवा रता आह े ते
ठरवाव े लागत े याव न स ू ाचा उपयोग क न बह लक काढला जातो . f1- f0L+ i2f1- f0 - f2
Where
L= जा तीत जा त वार ंवा रता असल े या वगा ची लघ ुसीमा िक ंवा भुिम णीत लघ ुसीमा.
f1 या वगा ची वार ंवा रता िक ंवा जा तीत जा त वार ंवा रता
f0 जा तीत जा त वार ंवा रता वगा आधी या वगा तील वार ंवा रता
f2 जा तीत जा त वार ंवा रता असल े या वगा नंतर या वगा तील वार ंवा रता
i वग िव तार / वगा तर
िटप - (जा तीत जा त वार ंवा रता असल ेला वग िनवड ून यावा ) munotes.in
Page 25
सं याशा ीय मािहतीच े व प
आिण म यवत वृ ी
25 उदा. गुण िव ाथ
१० - २० ५
२० - ३० ९
३० - ४० १३
४० - ५० २१
५० - ६० २०
६० - ७० १५
७० - ८० ८
८० - ९० ३
f1- f0 iL+2f1- f0 - f221-13x10= 40+2 21 -13 - 208x10= 40+42-33
8x10= 40+9
80= 40+9
= 40+8.8 = 48.8(बह लक )
उदा. खालील क ुटुंबातील उ प न िदल ेले आहे. याव न बह लक (mode ) काढा.
कुटुंब उ प न गट
१२ ० - १००
१८ १०० - २००
२७ २०० - ३०
२० ३०० - ४००
१७ ४०० - ५००
६ ५०० - ६००
munotes.in
Page 26
ा यि क भ ूगोल
26 f1- f0 iL+2f1- f0 - f227 -18x10= 200+2 27 -18 - 209x10= 200+54 -38
9x10= 200+16= 200+56.25 = 256.25mode (बह लक )
आलेखा मक बह लक -
जर स ं या मक साधन साम ु ी ेणी व वार ंवा रता िदल ेली अस ेल तर या आकड ेवारीव न
आलेखा मक बदल काढता य ेतो. थमत : आड या आसावर वग मया दा घेऊन माणान ुसार
वारंवा रता दाखवावी लागत े व न ंतर य ेक वग मया देम ये िकती वार ंवा रता आह े हे
तंभालेखा या सहा यान े दाखवल े जात े व न ंतर जो सवा त उंच त ंभ असतो या या
वर या बाज ूतील दो ही कोपर े व उंच त ंभातील कोपर े एकम ेकांना जोड ून जो िब ंदू तयार
होतो या िब ंदूवर ल ंब टाक यास ज े मू य तयार होत े तोच या आकड ेवारीतील बह लक
(mode ) असतो .
उदा. पुढील िदल े या आकड ेवारीव न आल ेखा मक बह लक (mode ) काढा. वग वारंवा रता
० - १० ५
१० - २० ११
२० - ३० १९
३० - ४० २१
४० - ५० १६
५० - ६० १०
६० - ७० ८
७० - ८० ६
८० - ९० ३
९० - १०० १ munotes.in
Page 27
सं याशा ीय मािहतीच े व प
आिण म यवत वृ ी
27 f1- f0 iL+2f1- f0 - f221-19x10=30+2 21 -19 -162x10=30+42-35
2x10=30+7
=30+2.8 =32.8mode (बह लक )
आलेख
बह लकाच े गुण / दोष / उपयोग -
गुण / फायद े -
१) या या िनि त अस यान े समज यास सोप े जाते.
२) काढ याची प त एकदम सोपी आह े.
३) दो ही टोकाकडील िक ंमत चा बह लकावर प रणाम होत नाही .
४) वगा तील कमाल व िकमान मया दा (शेवट या व स ु वाती या ) िदली नाही तरी बह लक
काढता य ेतो.
दोष / मया दा / तोटे -
१) जर िदल े या आकड ेवारीतील एकाप े ा अिधक बह लक े असतील िक ंवा अन ेक
िकंमती या वार ंवा रता जव ळपास समान असतील तर बह लक ठरिवण े किठण असत े.
जरी ठरिवल े तरी यो य ितिनधी व करीत नाही .
२) बह लकाची िक ंमत काढतना सव घटका ं या िक ंमतीचा य उपयोग करता य ेत
नाही. हणून ते सव िकंमतीवर आधारीत नसत े.
munotes.in
Page 28
28 २
िवचलनाची प रमाण े
घटक स ंरचना :
२.० उि ये
२.१ तावना
२.२ िव तार / क ा
२.३ चतुथ क िवचलन
२.४ सरासरी िवचलन
२.५ माण िवचलन
२.६ सरकती सरासरी
२.७ े ीय म य
२.० उि ये
िवचलना या िविवध प रमाणा ंचा अ यास करण े.
सरकती सरासरी अ यासण े.
' े ीय म य ' तं समज ून घेणे.
२.१ तावना
िवचलनाच े मोजमापन Meas ळres of Dispersion / Variation
िव कलन / िवखुरलेपण / अपिकरण / अप करण
सांि यिकय भ ूगोलाम य े थमत : भौगोिलक आकड ेवारीची साधनसाम ु ी जमा करावी
लागत े. साधनसाम ु ी जमा क े यावर या यात ून मा य काढल े जाते. परंतु क ीय वृ ी या
प रमाणा ार े िवतरणाच े सव च गुणधम ल ात य ेतीलच अस े नाही . कारण चलाच े मू यांक
(घटकातील स ं या) िव तार क ेत कमी अिधक अ ंतरावर िवख ुरलेले असतात िक ंवा
िनरी ण म ू यांक एखा ा स ं येभोवती एकि त य ेतात हण ूनच यासाठी िवख ुरलेपण
मापनाची आव यकता भासत े. munotes.in
Page 29
िवचलनाची प रमाण े
29 “एखा ा पदावलीतील पद े म यापास ून िकती िवख ुरलेली आह े याच े माण हणज ेच
अपिकरण िक ंवा िवख ुरलेपण होय .”
मा य िक ंवा ाितिनधीक स ं या खरोखरच िवतरणातील सव घटकाच े ितिनधी व करत े
िकंवा नाही ह े तपास यान ंतरच या ाितिनधीक स ं ये या आधार ेच िनण य घेणे आव यक
ठरते. जर असा िनण य घेतला नाही तर घ ेतले जाणार े िनण य संपूण चुक चे ठर याची
श यता असत े. मा य ितिनधी व करत े िकंवा नाही ह े िवख ुरलेपणाव न ठरिवतात .
हणज ेच िदल े या साधनसाम ु ीत िवखरल ेपण जा त अस ेल तर मा य कमी ितिनधी व
करते. या या उलट साधनसाम ु ीतील िवख ुरलेपण जर कमी अस ेल तर मा य जा त
ितिनधी व करत े व अच ूक िनण य घेतले जातात . हणून मा यापास ून िवचलनाच े
मोजमापन क नच कोणत ेही िन कष काढल े जातात .
िवखुरलेपण (अपिकरण ) मापना या प ती िक ंवा अप क रणाची प रमाण े -
a) िव तार Range
b) चतुथ क िवचलन Quaratile deriation
c) सरासरी िवचलन / मा य िवचलन mean deriation
d) माण िवचलन
e) सरकती / धावती सरासरी
२.२ िव तार / क ा
िवखुरलेपण मापनातील ही अ य ंत साधी व सवा त सोपी अशी प त आह े. ितचा वापर
सव सामा य लोका ंना सु ा करता य ेतो. िनरी णातील जा तीत जा त (मोठी स ं या) व
कमीत कमी (लहान स ं या) मू यातील फरकास िव तार िक ंवा िव तारक ा अस े हणतात .
हणज ेच साधनसाम ु ीतील सवा त मोठी स ं या व सवा त लहान स ं या या ं यातील फरक
हाच िव तार असतो . िवखुरलेपण दाखवत असताना िव तार प तीम य े फ दो ही
टोकां या स ं येचाच िवचार क ेला जातो . इतर स ं येला मह व िदल े जात नाही . िवतरणातील
जा त व कमी म ू याला मह व िदल े जाते.
मोठी स ं या – िव तार – लहान स ं या
सू L - S L = Largest ite m मोठी स ं या
L = Smallest item लहान स ं या
िव तार मापनाची प त काढत असताना िव तार ग ुणक ही काढला जातो . याला िव तार
गुणक अस े हणतात . हा िव तार ग ुणक काढ यासाठी खालील स ू ाचा उपयोग क ेला जातो .
Coefficient of Range िव तार ग ुणक LSLS munotes.in
Page 30
ा यि क भ ूगोल
30 उदा. िसंधुदुग िज ाम य े जुलै मिह यातील एका आठवड ्यात पडल े या पावसा या
न दीव न िव तार व िव तारग ुणक काढा .
िदवस पज य िमिम
सोमवार २०
मंगळवार २१
बुधवार २०
गु वार १६
शु वार २२
शिनवार २५
रिववार १७
1625 16 9 LS
LS
िव तार = 9
िव तार ग ुणक LSLS
25 1625 169
410.219
िव तार ग ुणक 0.219
उदा. एका िव ा या चे िविवध िवषयातील ग ुण िदल े आहेत. या याव न ग ुणाचा िव तार व
िव तार ग ुणक काढा .
२० ६५ ५४ ७१ ४४ ३१ ८१ ६२ २४ ८३ ६३
वरील िवतरणातील सवा त मोठी स ं या (Large ) L
वरील िवतरणातील सवा त लहान स ं या (Small ) S
िव तार स ू LS
िव तार 63
munotes.in
Page 31
िवचलनाची प रमाण े
31 िव तार ग ुणक LSLS
83 2083 20
631030.61
िव तार ग ुणक 0.61
उदा. ३)
िव दुकाने वग म य
२० - ३० ५ २५
३० - ४० २० ३५
४० - ५० ४५ ४५
५० - ६० ३५ ५५
६० - ७० २७ ६५
िटप : सलग ेणीत िव तार काढताना वार ंवारता ल ात घ ेतली जात नाही . तर वग म याचा
िव तार करावा लागतो .
िव तार स ू LS
65 25 40
िव तार 40
िव तार ग ुणक LSLS
65 2565 2540
900.44
िव तार ग ुणक 0.44
िव तार प तीच े गुण / फायद े -
अ) ही प त समज यास अितशय सोपी आह े.
ब) काढ यासाठी अितशय सोपी आह े.
क) ही प त काढ यासाठी व ेळ खूपच कमी लागतो .
munotes.in
Page 32
ा यि क भ ूगोल
32 दोष / मया दा / तोटे
अ) िवतरणातील सव अंकावर आधारीत नाही फ कमी व जा त या दोन अ ंकाचाच
िवचार क ेला जातो .
ब) टोका या अ ंकात बदल झा यास याचा िव तारावर मोठा प रणाम होतो .
२.३ चतुत व िवचलन (QUARTILE DEVIATION )
िव तार मापन प तीत िवख ुरले या दाखवत असताना या यावर काही मया दा पडल े या
िदसून येतात. कारण यात दोन टोका ं या स ं येचाच िवचार क ेला जातो . हणून याचा
प रणाम िव तारावर होत असतो . चतुथ क िवचलनाम य े हा दोष नाहीसा क ेला जातो . ते
दो हीही अ ंक िवचारात घ ेतले जात नाहीत . या प तीत या चार भागाप ैक पिह या भागाचा
व शेवट या भागाचा िवचार न करता मध या दोन भागाचा िवचार क ेला जातो . हणज ेच
पिहल े २५% घटक व श ेवटचे २५% घटक द ूर क न फ मध या ५०% घटकाचा
िव तार काढला जातो व यास दोन न े भागतात हणज ेच ितसर े चतुथ क व पिहल े चतुथ क
याला दोनन े भाग यान ंतर ज े मापन तयार होत े याला चत ुथ िवचलन अस े हणतात .
साधनसाम तील दो ही टोकाकड ून १/४ पय त असल े या म ू यां या फरकास चत ुथ क
िवचलन अस े हणतात . पिहल े २५% घटक व श ेवटचे २५% घटक द ूर क न मध या
५०% घटकाचा िव तार काढतात व याला २ ने भागतात . यालाच चत ुथ क िवचलन अस े
हणतात .
चतुथ क िवचलन काढत असतात . थमत : सव घटका ंची मा ंडणी चढ या िक ंवा उतर या
मान े करावी लागत े व या मा ंडणीची चार समान कराव े लागतात . पिहला चौथाई भाग
हणज े पिहला चत ुथ क, दुसरा चौथाई भाग हणज े दुसरा चत ुथ क व ितसरा चौथाई भाग
हणज े ितसरा चत ुथ क याला अन ु मे अशी नाव े िदलेली आह े.
चतुथ क िवचलन काढ यासाठी खालील स ू ाचा वापर क ेला जातो .
1Qपिहल े चतुथ क 114NQ मांका या घटका ंची िकंमत 2Q म यगा Median दुसरे चतुथ क 3Q ितसर े चतुथ क
1334NQ माका ं या घटका ंची िकंमत
चतुथ क िवचलन 312QQQD munotes.in
Page 33
िवचलनाची प रमाण े
33 चतुथ क िवचलन 3131QQQQ
१) खाली िदल े या आकड ेवारीत ९ वषा त झाल े या भ ूकंपाची स ं या िदल ेली आह े.
याव न चत ुथ क िवचलन काढा व प ीकरण करा .
२, ५, ८, ३,११, ६, १, ५, ९, १४
वाढ या मान े - १, २, ३, ४, ५, ५, ६, ८, ९, ११, १४ 114NQ माका ं या घटका ंची िकंमत 11N
11 114Q माका ं या घटकाची िक ंमत
1214Q मांका या घटकाची िक ंमत 13Q मांका या घटकाची िक ंमत
िदले या आकड ेवारीम य े ३ चा मा ंकाची स ं या ही ३ आहे. 13Q
२) 1334NQ मांका या घटका ंची िकंमत 11N
11 1334Q मांका या घटका ंची िकंमत 12334Q मांका या घटका ंची िकंमत 33 3Q मांका या घटका ंची िकंमत 39Q मांका या घटका ंची िकंमत
िदले या आकड ेवारीम य े ९ चा मा ंकाची स ं या ही ९ आहे. 39Q
munotes.in
Page 34
ा यि क भ ूगोल
34 312
93
2
6
2
3
QQQD
QD
QD
QD
चतुथ क िवचलन ३ भूकंप 3131 QQCo efficientof QDQQ 9393612120.5
QD
QD
QD
QD
चतुथ क िवचलन ग ुणक 0.5भूकंप
प ीकरण :
९ वषा तील झाल े या भ ूकंपाची स ं या िदल ेली आह े. याव न चत ुथ क िवचलन काढल े
असता खालील गो ी प होतात .
१) २५ ट के िठकाणात ९ वषा त ३ पे ा कमी भ ूकंप झाल े.
२) २५ ट के िठकाणात ९ वषा त ९ पे ा जा त भ ूकंप झाल े.
३) ५० ट के िठकाणातील भ ूकंपाचे माण ३ ते ९ या दर यान अस ून याच े चतुथ क
िवचलन ३ इतके असून चत ुथ क िवचलन ग ुणक हा ०.५ इतका झाल ेला आह े.
४) हणजेच सव िठकाणी ९ वषा त सार या माणात भ ूकंप झाल ेले िदसत नाही .
२) खाली िनवडक िठकाणाच े वािष क सरासरी पज यमान िदल ेले आह े. याव न
चतुथ क िवचलन ग ुणक काढा व आल े या उ राचा अ वयाथ िलहा .
०.८५, १.५०, १.१०, २.७५, ०.५०, २.७५, ४.२०, २.१८, २.१२, ०.२०, ५.१२
चढ या मान े - ०.२०, ०.५०, ०.८५, १.१०, १.५०, २.१२, २.७५, २.१८, २.७५,
४.२०, ५.१२
munotes.in
Page 35
िवचलनाची प रमाण े
35 114NQ माका ं या घटका ंची िकंमत 11N 11 114Q माका ं या घटकाची िक ंमत 1214Q मांका या घटकाची िक ंमत
13Q मांका या घटकाची िक ंमत
िदले या आकड ेवारीम य े ३ चा मा ंकाची स ं या ही ०.८५ आहे. 1 0.85Q
२) 1334NQ मांका या घटका ंची िकंमत 11N
11 1334Q मांका या घटका ंची िकंमत 12334Q मांका या घटका ंची िकंमत 33 3Q मांका या घटका ंची िकंमत 39Q मांका या घटका ंची िकंमत
िदले या आकड ेवारीम य े ९ चा मा ंकाची स ं या ही २.७५ आहे. 3 3.75Q
312QQQD 3.75 0.852
2.9
2
1.45
QD
QD
QD
चतुथ क िवचलन 1.45cm पज य 3131 QQCo efficientof QDQQ munotes.in
Page 36
ा यि क भ ूगोल
36 3.75 0.853.75 0.852.9
4.6
0.63
QD
QD
QD
चतुथ क िवचलन ग ुणक 0.63cmपज य
प ीकरण :
िनवडक िठकाणा ंचे वािष क सरासरी पज यमान स ् म य े िदलेले cm. याव न चत ुथ क
िवचलन काढल े असता खालील गो ी प होतात .
१) २५ ट के िठकाणात वािष क सरासरी पज य ०.८५ cm पे ा कमी झाल ेले आहे.
२) २५ ट के िठकाणात वािष क सरा सरी पज य २.७५ cm पे ा जा त झाल ेले आहे.
३) ५० ट के िठकाणातील वािष क सरासरी पज य ०.८५ cm ते २.७५ cm या
दर यान अस ून चत ुथ क िवचलन १.४५ आहे तर चत ुथ क िवचलन ग ुणक ०.६३ आहे.
४) हणज ेच सव िठकाणी वािष क सरासरी पज य सारख े नाही.
५) पज यावर प रणाम कर णारे घटक -
१) भौगोिलक थान
२) हवामान
३) वन पती
४) ाकृितक रचना
१) सावंतवाडी ताल ु यातील वािष क सरासरी उ पादन ह े टर म य े िदल ेले आह े.
याव न चत ुथ क िवचलन ग ुणक काढा . आले या उ राचा अ वयाथ पहा.
२) खाली िनवडक िठकाणाच े वािष क सरासरी पज यमान िदल ेले आहे. याव न चत ुथ क
िवचलन ग ुणक काढा व आल े या उ राचा अ वयाथ िलहा .
२.५, ८, ४, ७, २, ३, २, १, ०.५
चढ या मान े - ०.५, १, २.५, २.२, ४, २.२, ८
114NQ माका ं या घटका ंची िकंमत
munotes.in
Page 37
िवचलनाची प रमाण े
37 7114Q माका ं या घटकाची िक ंमत 814Q मांका या घटकाची िक ंमत 12Q मांका या घटकाची िक ंमत
िदले या आकड ेवारीम य े ३ चा मा ंकाची स ं या ही १ आहे. 11Q
२) 1334NQ मांका या घटका ंची िकंमत 11N 71334Q मांका या घटका ंची िकंमत 8334Q मांका या घटका ंची िकंमत 33 2Q मांका या घटका ंची िकंमत 36Q मांका या घटका ंची िकंमत
िदले या आकड ेवारीम य े ९ चा मा ंकाची स ं या ही २.२ आहे. 36Q
312QQQD 7.2 126.22
3.1
QD
QD
QD
चतुथ क िवचलन3.1हे टर उ पादन 3131 QQCo efficientof QDQQ 7.2 17.2 16.28.20.75
QD
QD
QD
चतुथ क िवचलन ग ुणक 0.75हे टर उ पादन munotes.in
Page 38
ा यि क भ ूगोल
38 प ीकरण :
वरील आकड ेवारीम य े साव ंतवाडी ताल ु यातील वािष क सरासरी उ पादन ह े टरम य े
िदलेले आहे. याव न चत ुथ क िवचलन काढल े असता खालील गो ी प होतात .
१) २५ ट के सावंतवाडी ताल ु यातील वािष क सरासरी उ पा दन १ हे टर प े ा कमी
झालेले आहे.
२) २५ ट के सावंतवाडी ताल ु यात वािष क सरासरी उ पादन २.२ हे टर प े ा जा त
झालेले आहे.
३) ५० ट के साव ंतवाडी ताल ु यात वािष क सरासरी उ पादन १ हे टर त े २.२
हे टर या दर यान अस ून चत ुथ क २.१ आहे, तर चत ुथ क िवचलन ग ुणक ०.७५
इतके आहे.
४) उ पादनावर प रणाम करणार े घटक .
जिमनीच े व प
पाणीप ुरवठा
तं ानाचा अभाव
जिमनीच े तुकडीकरण
आिथ क प रि थती
1
41
1341
1341
Ncf
QL if
NcfQL if
NcfQL if
१) खालील आकड ेवारीम य े भारतातील शहरामधील १९९१ मधील ि या ंचे व य
वैवािहक ि थतीन ुसार िदल ेले आह े. याव न चत ुथ क िवचलन काढा व आल े या
उ राचा अ वयाथ िलहा .
munotes.in
Page 39
िवचलनाची प रमाण े
39 वयोगट (x)
िववािहत य
ट केवारीम य े
(f) पे ा कमी स ंिचत
वारंवा रता त े less
than cf
१० - ४० ५ ५
१५ - १९ ४१ ४६
२० - २४ ८६ १३२
२५ - २९ ९५ २२७
३० - ३४ ९६ ३२३
३५ - ३९ ९५ ४१८
४० - ४४ ९१ ५०९
४५ - ४९ ८८ ५९७
५९७
1
41 597114
597 114
59814
1 149.5
Ncf
QL i Nf
NQ
Q
Q
Q
१४९.५ ही सं या २२७ या संिचत वार ंवा रत ेम ये येते. तीची वार ंवा रता ९५ असून मू य
२५-२९ एवढे आहे.
1
41 597597 113241 25 495Ncf
QL i Nf
Q
59813241 25 495Q munotes.in
Page 40
ा यि क भ ूगोल
40 149.5 1321 25 495
17.51 25 495
1 25 0.9 4
1 25 0.76Q
Q
Q
Q
1 25.76Q वष
४४८.५ ही सं या ५०९ या संिचत वार ंवा रत ेम ये येते तीची वार ंवा रता ९१ असून मू य
४०-४४ एवढे आहे.
1343 597597 13 132434 0 491
5983 132434 0 491
3 149.5 41834 0 491
448.5 41834 0 491
30.534 0 491
3 40 0.33
Ncf
QL i Nf
Q
Q
Q
Q
Q
Q4
3 40 1.32
Q
3 41.32Q वष 312QQQD 41.32 25.762QD 15.5627.78
QD
QD
चतुथ क िवचलन 7.78 वष munotes.in
Page 41
िवचलनाची प रमाण े
41 प ीकरण :
वरील आकड ेवारीम य े भारतातील शहरामधील १९९१ मधील ि या ंचे िववािहत ि या ंचे
वय वैवािहक ि थतीन ुसार िदल ेले आहे. याव न चत ुथ क िवचलन काढल े असता खालील
गो ी प होतात .
१) २५ ट के िववाहीत ि या ंचे वय २५.७६ वष पे ा कमी आह े.
२) २५ ट के िववाहीत ि या ंचे वय ४१.३२ वष पे ा जा त आह े.
३) ५० ट के िववाहीत ि या ंचे वय २५.७६ वष ते ४१.३२ वष या या दर यान या
वयोगटातील अस ून चत ुथ क िवचलन २.७८ वष आहे.
४) १९९१ मधील िववाहीत ि या ंचे वय सारख े आढळत नाही .
५) िववाहीत ि या ं या वयोगटावर प रणाम करणार े घटक
१) ि या ंकडे पाह याचा ीकोन
२) आिथ क प रि थती
३) लोकांची मनोव ृ ी
४) यवसाय
५) सेवा-सुिवधांचे माण
चतुथ क िवचलनाच े गुण / फायद े
अ) जरी वगा ची कमाल मया दा पूण नसली तरी का ढता य ेते.
ब) या प तीतक सव अंकाचा िवचार क ेला जात नसला तरी ५०% भागाचा िवचार
के याने या ार े येणारे िन कष यो य असतात .
क) िव तार प तीतील दोष टा ळता येतो.
ड) ही प त समज यास सोपी व काढ यास सोपी आह े.
दोष / मया दा
अ) चतुथ क िवचलन ह े साधनसाम ु ीतील सव अंकावर आधारीत नाही फ िन या
अंकावरच आधारीत असत े.
ब) पुढील गिणता या प तीत िक ंवा गिणता या अ ंकास उपय ु ठरत नाही .
क) नमुना बदल यास चत ुथ क िवचलनही बदलत े.
ड) पिहल े व शेवटचे २५% अंक वग ळून काढल े अस यान े सव घटकासाठी काढल ेले
िनण य यो य असतीलच अस े सांगता य ेत नाही . munotes.in
Page 42
ा यि क भ ूगोल
42 इ) वारंवा रता िवतरणात िकमान मया दा नस ेल तर चत ुथ क िवचलन काढता य ेत नाही .
उपयोग
सव कष साधनसाम ु ीतील िवचलन दाखिव यासाठी या प तीचा उपयोग होतो जर
अंकामधील िवचलन कमी अस ेल व लवकर िनण य यावयाचा अस ेल तर ही प त अ य ंत
उपयु ठरत े.
२.४ सरासरी िवचलन / मा य िवचलन (अपिकरणा ंचा थम घात )
िवचलन दाखिव यासाठी ही प त मह वाची समजली जात े. कारण िव ताराम य े दोन
टोकां या स ं येचा िवचार क ेला जातो . तर चत ुथ क िवचलनात फ मध या ५०% भागाचा
िवचार क ेला जातो . हणून या दो ही ही प तीत काढल े जाणार े िन कष सव अका ंवर
आधारीत नसतात . हा दोष काढ यासाठी िक ंवा घालव यासाठी सरासरी िवचलनाचा
उपयोग क ेला जातो . 'कोण याही मा यापास ून' काढल े या िवचलनाची (- िकंवा + िच हे
ल ात न घ ेता) सरासरी हणज ेच मा य िवचलन होय . मा य िवचल न सव अंकावर
आधारीत असत . सरास री िवचलन काढताना खालील ट यात ून जाव े लागत े.
१) थमत : िदले या िवतरणाच े म यगा िक ंवा समा ंतर मा य काढण े.
२) या मा यापास ून य ेक पदाच े िवचलन / अंतर काढण े.
३) येक पदाच े िवचलन काढ यान ंतर - िकंवा + िच हे ल ात न घ ेता िवचलनाची ब ेरीज
करणे.
४) या िवचलनाची सरासरी काढण े हणज ेच सरासरी िवचलन होय . या यासाठी प ुढील
सू ाचा वापर क ेला जातो .
म य िवचलन िक ंवा सरासरी िवचलन -
िव तार व चत ुथ क िवचलन िदल े या सव िकंमतीवर आधारीत नसत े. हा दोष सरासरी
िवचलनात काढ ून टाक यात आला आह े. येक घटका या िक ंमती या सरासरी
िवचलनात काढ ून टाक यात आला आह े. येक घटका या िक ंमती या सरासरी िक ंवा
गिणती मा यमापास ून िवचलीत झाल े या िनरप े अंतरा या ब ेरजेला घट कां या स ं येने
भागले असता येणा या सं येला िक ंवा बह लक याप ैक कोण याही साधारणमानाचा वापर
करतात . हणून
सू efvejHes#e Debleje®eer yesjerpeceO³e eJ f e®eueve ek f ebÀJee mejemejer efJe®eu eveIeìkeÀeb®eer mebK³ee
उदा. एका िव ा या ला िम ळाले या ग ुणांचे सरासरी िवचलन काढा .
munotes.in
Page 43
िवचलनाची प रमाण े
43 गुण म यम ेपासून िनरपे अंतर
२० ४२
२४ ३८
३१ ३१
४४ १८
५४ ८
६२ ०
६३ १
६५ ३
७१ ९
८१ १९
८३ २१ एकूण १९०
या उदाहरणात सहा या घटकाची िक ंमत ही म यमा अस ेल, यामुळे सहावा घटक हणज े
६२ अस याच े येक घटकाच े ६२ पासूनचे अंतर काढ ून ते िनरप े अंतर हणाव े. हणून Debleje®eer yesjerpemejemejer efJe®eueveIeìkeÀeb®eer mebK³ee190mejemejer efJe®eueve11mejemejer eJ f e®eueve 17.3
सरासरी िवचलनाच े गुण -
अ) समज यास ही प त सोपी आह े.
ब) सहजासहजी काढता य ेते.
क) ही प त साधनसाम ु ीतील सव अंकांवर आधारीत आह े.
ड) नमु यात बदल झाला तरी फारसा बदल होत नाही .
इ) टोका या अ ंकात बदल झाला तरी म ू यावर िवश ेष प रणाम होत नाही .
दोष / मया दा -
अ) पुढील गिणता या प तीत जशा या तसा वापर करता य ेत नाही .
ब) जे हा साधन साम ु ीत िवचलन फार असत े ते हा ही प त अच ूक माग दश न क
शकत नाही . munotes.in
Page 44
ा यि क भ ूगोल
44 २.५ माण िवचलन
काल िपअरसन १८९३ साली ही स ंक पना प क ेली. या या मत े माण िवचलनाचा
उपयोग िवचलन म य े फार मोठया माणात क ेला जातो . ही प त सवा त उ क ृ हण ून
संबोधली जात े. सव साधारण िवचलन दाखिव यासाठी या प तीचा वापर फार मोठया
माणात क ेला जातो . कोण याही मा यापास ून (क ीय मू य, सरासरी , म यमा , बह लक
सामा यत : समांतर मा यापास ून) काढल े या िवचलना या वगा या सरासरीच े वग मुळ
हणज ेच माण िवचलन होय . माण िवचलन सव अंकावर आधारीत अस ून या यापास ून
काढल ेले िन कष अिधक अच ूक असतात . हणूनच उ म िवचलन मापनाच ेही साधन
हणून याचा उपयोग मोठया माणावर होतो . माण िवचलन काढताना खालील पायया तून
जावे लागत े.
१) समांतर िक ंवा इतर मा य काढण े.
२) येक पद िक ंवा काढल ेले मा य यातील िवचलन काढण े.
३) िवचलनाचा माग काढण े.
४) वग केले या िवचलनाची ब ेरीज करण े.
५) व या ब ेरजेव न माण िवचलन काढण े.
एकच घटक अस ेल तर
माण िवचलन :
या या :
साधनसाम ीतील सरासरीपास ून का ढले या िवचलना या वगा या सरासरीन े वग मुळ
हणज े माण िवचलन होय .
िवचलन मोज यासाठी ह े सवा त मह वाच े प रमाण आह े. व हे साधनसाम ीतील सव
मु यांवर अवल ंबून असाव े. यामुळे घेतलेले िनण य हे अचूक असतात . माण िवचलनाला
SD असेही हणतात िक ं ीक भा षेत sigma हे िच हद ेखील यासाठी वापरल े जाते.
माण िवचलन काढ यासाठी खाली स ू ाचा वापर क ेला जातो .
सू 22
6fd fdSDnn
माण िवचलन सहग ुणक 100ÒeceeCe efJe®euevemejemejerSDmean munotes.in
Page 45
िवचलनाची प रमाण े
45 माण िवचलन काढ यान ंतर माण िवचलनाच े मू य ह े कमी अस यास िवचलनही कमी
असत े व माण िवचलनाच े मू य जा त अस यास िवचलनही जा त असत े. माण
िवचलनाच े मु य कमी अस यास माण िवचलन सहग ुणकाची िक ंमत कमी य ेते. माण
िवचलनाच े मू य जा त अस यास िक ंमत कमी य ेते. माण िवचलन सहग ुणकाची िक ंमत
जा त य ेते. माण िवचलन ह े नेहमी सरासरी पास ून काढल े जाते.
सरासरी
पज य िठकाण े f वग म य m dm x 2d fxd 2fxd
० - १० १८ ५ - ३० ९०० - ५४० १६२००
१० - २० १६ १५ - २० ४०० - ३२० ६४००
२० - ३० १५ २५ - १० १०० - १५० १५००
३० - ४० १२ ३५ ० ० ० ०
४० - ५० १० ४५ १० १०० १०० १०००
५० - ६० ०५ ५५ २० ४०० १०० २०००
६० - ७० ०३ ६५ ३० ९०० ९० २७००
७० - ८० ०१ ७५ ४० १६०० ४० १६००
22226803140080 80392.5 8.5
392.5 72.25
320.2517.89
fdfdSDnn
SD cm 10017.89100350.51 10051%
SDVX
V
VV
प ीकरण :
महारा ातील ८० िठकाणातील सरासरी पज याचे माण िवचलन काढल े असता खालील
गो ी प होतात . munotes.in
Page 46
ा यि क भ ूगोल
46 १) िदले या आकड े व न आल ेले िवचलन ह े १२.८९ सेमी इतक े आहे. तर v ची िकंमत
५१ ट के आल ेली आह े. याव न सरास री पज याम य े िवचलन जा त आह े.
२) महारा ातील ८० िठकाणाप ैक १७ ते ५३ या दर यान सरासरी पज य हे जा त
आढळते.
३) महारा ात काही िठकाणी कमी तर काही िठकाणी जा त पज य आढ ळते. हणज े
सरासरी यो य ितिनधी व करत नाही .
४) महारा ातील पज यावर प र णाम करणार े घटक हवामान , भूरचना, भौगोिलक थान .
२) खालील आकड ेवारीम य े समु सपाटीपास ून उंचीनुसार वसाहतीच े िवतरण िदल ेले
आहे. याव न माण िवचलन काढा व आल े या उ राचा अ वयाथ िलहा .
सरासरी
पज य िठकाण े f वग म य m dm x 2d fxd 2fxd
१०० - २०० ३० १५० -२०० ४०००० -६००० १२०००००
२०० - ३०० २२ २५० -१०० १००००० -२२०० २२००००
३०० - ४०० २० ३५० ० ० ० ०
४०० - ५०० १५ ४५० १०० १०००० १५०० १५००००
५०० - ६०० १० ५५० २०० ४०००० २००० ४०००००
६०० - ७०० ०३ ६५० ३०० ९०००० ९०० २७००००
222238002240000100 10022400 38
22400 1444
20956144.76
fdfdSDnn
SD m munotes.in
Page 47
िवचलनाची प रमाण े
47 100144.761003500.41 10041%
SDVX
V
VV
प ीकरण :
समु सपाटीपास ून उंचीनुसार वसाहती या िवतरणाव न माण िवचलन काढल े असतात
खालील गो ी प होतात .
१) िदले या आकड े व न आल ेले िवचलन ह े १४४.७६ मी इतक े आहे. . तर v ची िकंमत
४१ ट के आल ेली आह े. याव न सरासरी पज याम य े िवचलन जा त आह े.
२) ७०० वसाहतीप ैक २०५ ते ४९५ या दर यान या वसाहत ची सम ु सपाटीपास ूनची
उंची जा त आढ ळते.
३) ७०० वसाहतीपैक काही वसाहती सम ु सपाटीपास ून जा त उ ंचीवर तर काही
वसाहती या कमी उ ंचीवर आढ ळतात.
४) महारा ातील उ ंचीवर प रणाम करणार े घटक हवामान , भूरचना, भौगोिलक थान .
माण िवचलनाच े गुण / फायद े -
१) ही प त सव अंकावर आधारीत आह े.
२) िवचलन दाखिव यासाठी या प तीची िन ि त या या क ेलेली अस यान े ती
समज यास सोपी आह े.
३) सं या शा ातील प ुढील गिणता या प तीत माण िवचलनाचा ही वापर करता य ेतो.
४) िवचलन दाखवत असताना या प तीत नम ु यात झाल े या बदलाचा या साधनावर
िवशेष प रणाम होत नाही .
५) ही प त अच ूक िव ेषण िक ंवा िवच लन दश िवते हणून या प ती ार े घेतलेले िनण य
अचूक अस याची श यता जा त असत े.
दोष / मया दा -
१) जरी या प तीन े अचूक िनण य होत असल े तरी तो काढ यास ख ूपच िकचकट आह े.
२) ही प त काढ यासाठी िकचकट अस यान े सव सामा यास समज यास ती ख ूपच
कठीण जात े.
३) या प तीम य े टोका या अ ंकाना जा तीत जा त मह व िदल ेले असत े. munotes.in
Page 48
ा यि क भ ूगोल
48 उपयोग -
िवचलन दाखिव यासाठी ही प त अ य ंत उ क ृ अस यान े उ म िवचलनाच े मापन हण ून
या प तीचा उपयोग जा तीत जा त क ेला जातो . तसेच पुढील ब ैिजक िक ंवा सं याशा ीय
गिणता या ि य ेम ये या प तीचा वापर मोठया माणावर क ेला जातो .
उदा. पुढे िदले या साईजव न माण िवचलन काढा .
२.६ धावती / सरकती सरासरी
काळ िकंवा वेळे या स ंदभा त मांडलेली िनरी णम ू ये या सा ंि यक य ेणीम य े असतात .
या ेणीला कालस ंदिभ त ेणी अस े हणतात . कालस ंदभ ेणीम य े असल ेली मू ये तयात
सात यान े होणारी वाढ िक ंवा घट दश िवतात . तसेच मोठया काळात होणार े बदल व च य
बदल ह े सु ा प पण े िदसून येतात. धावती सरासरी या सहा यान े कालस ंदिभ त ेणीचे
मापन करता य ेते.
या प तीम य े धाव या सरासरी या मािलक ेतील िविश म मोजला जातो . िदले या
काळातील िविश स ं येची सरासरी ही वािष क मािहती िक ंवा का ळमया दा मोजली जात े.
आिण ती काल ेणी या म य िब ंदू या िव थाना ंिकत क ेली जात े. काळ िनि त क न
ही ि या परत क ेली जात े. ३ वषा ची धावती सरासरी काढताना थम पिह या ३ सं यांची
बेरीज िदल े या मािलक ेतील पिहली स ं या वग ळून आिण प ुढ या वषा ची बेरी क न ितला
३ ने भागल े जाते. ५ वषा ची सरासरी काढताना पिह या ५ सं यांची बेरीज क ेली जात े व
ितला ५ ने भागल े जाते. यानंतर पिहली स ं या सोड ून पुढ या ३ िकंवा ५ सं या या ंची
बेरीज क ेली जात े. या माण े सरकती सरासरी िम ळिवली जात े. िदले या मािलक े या
शेवट या स ं येपय त ही ि या चाल ू ठेवली जात े. ३ वषा या सरासरीची स ु वात पिहल े
थान सोड ून दुसया थानापास ून केली जात े तर ५ वषा या धाव या सरासरीची स ु वात
पिहली दोन थान े सोडून ितस या थानापास ून केली जात े.
बदलत े वाह अ यास यासाठी धावती सरासरी ाम ु यान े वापरली जात े. भूगोलाम य े हे
तं ाम ु यान े तापमान , पज यमान अशा हवामानस ंबंधी सा ंि यक करीता वापरल े जाते.
अशी सरासरी आल ेखा या सहा यान े दाखव ून का लसंदिभ त ेणीतील चढ उतार कस े
झाले आहेत. याची मािहती िम ळते.
फायद े -
१) धावती सरासरी ाम ु यान े काळानुसार होणारा बदल तस ेच च य बदल
अ यास यासाठी वापरली जात े.
२) या प तीम य े कोणतीही िकचकट मोजणी असत नाही याम ुळे ही प त वापर यास
सोपी व स ुलभ आह े.
३) यो य काळ शोध यान ंतर यातील चढ उतार आपोआप काढल े जातात .
४) या प तीम य े लविचकता असत े. munotes.in
Page 49
िवचलनाची प रमाण े
49 तोटे -
१) ही प ती भिव यकालीन बदल या म ू यांचे िकंवा िकंमतीच े अंदाज कर यासाठी यो य
नसते. िकंबह ना सरकती सरासरीत याबाबतच े कुठचेही िनयम नाहीत .
२) ही प ती क ेवळ रेषीय बदल दश िवते. अरेषीय ा झाल े या िक ंमती ा प पाती
आिण य िक ंमतीपास ून दूर जाणाया असतात .
३) या प तीम य े जी चि यता असत े तशी य मािहतीम य े नसत े.
उदा. खाली िदल े या सा ंि यक य मािहती या आधार े ३ व ५ वषा ची सरकती सरासरी
काढा.
वष मू य ३ वषा ची
बेरीज ३ वषा ची
सरकती
सरासरी ५ वषा ची
बेरीज ५ वषा ची
सरकती
सरासरी
२००० ४.३
२००१ २.६ १२.२ ४.०
२००२ ४.३ १२.१ ४.० १९.८ २.९
२००३ ४.२ ११.९ २.६ २०.७ ४.१
२००४ २.४ ११.८ २.६ १९.७ २.९
२००५ ४.२ ११.२ २.७ १२.८ २.५
२००६ २.६ १०.२ २.४ १२.९ २.५
२००७ २.४ १०.३ २.४ १२.९ २.५
२००८ ४.३ १०.१ २.३ १६.९ २.३
२००९ २.४ १०.९ २.६ १५.९ २.१
२०१० २.२ ९.२ २.० १६.७ २.३
२०११ २.६ ९.० २.० १६.६ २.३
२०१२ २.२ १०.० २.३ १५.४ २.०
२०१३ ४.२ ९.६ २.२
२०१४ २.२
सामा य िवतरण -
सव साधारणपण े थमत : सु वातीला वार ंवा रता मा यापय त वाढत जात े व नंतर परत ती
कमी कमी होत जात े. या िवतरणाला सामा य िवतरण अस े हणतात . िदले या
साधनसाम ीच े वारंवा रता को क तयार क े यानंतर स ु वातीला मा यापय त वार ंवा रता
वाढत जात े व नंतर मा या पासून ती याच माणात कमी क मी होत जाते. हणज े म यवत
मापना या दो हीही बाज ूला सारख ेच िवतरण पदमाल ेत िदल ेले असत े. या पदमाल ेतील
क ीय वृ ी तपास याचा य न क े यास ती सारखीच असत े. हणज े Mean , Median ,
Mode या ित हीचीही िक ंमत व म ु य सारख ेच असत े. जर हेच वार ंवा रता िवतरण आल ेख
कागदावर दाखिव यास वार ंवा रता / िवतरण आल ेख घंटे या आकारासारखा िदसतो . munotes.in
Page 50
ा यि क भ ूगोल
50 हणून याला ब ेल शेप क ह असे हणतात . या िवतरणातील िवचलनाचा िवचार क े यास
िवचलन श ू य (दो ही बाज ूला सारख ेच) असत े. यालाच समवाटप अस ेही हणतात . या
आकृतीम य े समा ंतर मा यापास ून िकंवा क ीय वृ ीपास ून दो हीही बाज ूला अ ंतर
सारख ेच असत े. या िवतरणातील म य , म यगा व बह लक समान असतात . िवचलनाची
(समांतर मा यापास ून) बेरीज (+, - क न) ० असत े. अशा कारची भौगोिलक आकड ेवारी
ब याचदा उपल ध होत असत े.
आलेख -
२) िवषमता (िवषय वाटप ) -
िदले या आ कडेवारीत िक ंवा पदमाल ेत Mean , Median , Mode समान नसतील तर या
िवतरणास िवषम वाटप अस े हणतात . ही िवषम वाटणी हणज ेच िवषमता होय . ही िवषमता
लहान स ं ये या भागाकड े हणज े मा य य े यापूव या भागात अस ेल िक ंवा मोठया
सं ये या भागात हणज े मा यान ंतर या भागा त अस ेल.
आलेख -
वैिश ये -
१) या िवतरणात Mean , Median , Mode याची िक ंमत सारखी नसत े.
२) समांतर मा यापास ून दो हीही बाज ूला अ ंतर सारख े नसत े.
३) िवचलनाची ब ेरीज ० नसते.
४) साधनसाम ु ी या आधार े काढल े या व घ ंटे या आकाराचा नसतो हणज ेच
साधनसाम ु ी या म यवत मा पना या दो ही बाज ू सार या नसतात .
िवषमत ेचे कार -
िवषमत ेचे मु य दोन कार
१) धन िवषमता
२) ऋण िवषमता
१) धन िवषमता -
िवषमता मा यान ंतर या भागात िक ंवा वार ंवा रता उ चतम भागा या उजवीकड े माण
जा त अस ेल यास धन िवषमता अस े हणतात .
munotes.in
Page 51
िवचलनाची प रमाण े
51 आलेख -
२) ऋण िवषमता -
िवषमता म या अगोदर या भागात अस ेल िक ंवा वार ंवा रता उ चतम िशखर भागा या
डावीकडील माण जा त अस ेल तर याला ऋण िवषमता अस े हणतात .
आलेख -
िवषमता मापना या प ती -
िवषमता ग ुणक काढ यासाठी दोन प तीचा उपयोग होतो . या प ती प ुढील माण े -
अ) काल िपअरसन िवषमता ग ुणक प ती -
काल िपअरसन यान े िवषमता काढ याचा य न क ेला यान े या प तीचा उपयोग क ेला
याला काल िपअरसन िवषमता ग ुणक अस े हणतात . यां या प तीम य े िदल े या
साधनसाम ु ीत समा ंतर मा य व बह लक समान नसतील तर िवषमता काढता य ेते. मा य व
बह लक या ं यामधील अ ंतर काढ ून या अ ंतराला या पदमाल ेतील माण िवचलनाच े भागण े
हणज े िवषमता ग ुणक होय . या यासाठी खालील स ू ाचा वापर क ेला जातो .
mean-modeSK=Standard Deviation SK िवषमता ग ुणक
उदा. पुढे जी आकड ेवारी िदल ेली आह े या या व न काल िपअरसनचा िवषमता ग ुणक
काढा.
मा य - ४४
बह लक - ४२
माण िवचलन १२
ब) बोलीचा िवषमता ग ुणक -
साधन साम ु ीतील िक ंवा आकड ेवारीतील िवषमता काढ यासाठी बोली यान े थम य न
केला. याने िवसंगती मापन काढ यासाठी िवचलनाचा िक ंवा गुणा मक उपयोग क ेला तर
िवतरण िक ंवा वाटणी सम अस ेल तर ितस या िवचलनाच े अंतर पिह या िवचलना या
म यगा एवढ े असत े. बोलीचा िवषमता ग ुणक न ेहमी + - या दर यान असतो .
सू
क) युरतोिसस -
एखा ा िवतरणातील म यवत मापन , िवचलन व िवषमता या यािशवाय चौथा भाग हणज े
युरतोिसस होय . युरतोिसस हणज े िदल े या िवतरणातील व ाकार भागातील उ ंच munotes.in
Page 52
ा यि क भ ूगोल
52 व ा या ीन े िकंवा िशखरा या व पात याचा समाव ेश असतो . सामु ीतील म ू यां या
िवतरणात याची वार ंवा रता सवा त जा त असत े. तो उ ंच व ाकार भाग हणज ेच
युरतोिसस होय .
आलेख -
भूगोलाम य े एखा ा देशातील िक ंवा एखा ा भागातील इतर द ेशापास ून उंच भाग
जा यासाठी य ुरतोिससचा उपयोग क ेला जातो . कारण प ृ वीची भ ुपृ रचना सव च िठकाणी
सारखीच नसत े. काही िठकाणी सपाट भाग तर काही िठकाणी उ ंच भाग असतो . एवढेच
न हे तर काही ठरािवक सपाट भागात स ु ा काही उ ंच भाग असतो . आिण हा उ ंचच उ ंच
भाग जाण ून घे यासाठी या य ुरतोिससचा उपयोग क ेला जातो . सं याशा ाम य े िदलेली
साधनसाम ु ी अस ेल तर अशा साधनसाम ु ीत एखा ा िक ंवा याप े ा जा त उ ंच भाग
िनमा ण झाला आह े काय त े पहा यासाठी या प तीचा उपयोग करतात . सव साधारणपण े
व ा या सहा यान े िशखराचा भाग िकती उ ंच आह े. या याव न य ुरतोिसस च े पुढील तीन
कार पडतात .
अ) ले टो य ुरतीक -
जे हा सव सामा य व ाप े ा जा त उ ंचीचा व तयार होतो याला ल े टो य ुरतीक अस े
हणतात . हणज ेच बह लका या बाज ुला सव च आकड ेवारी जव ळ
२.७ े ीय म य (AREA MEAN )
. १ सोबत िदल े या नकाशाचा वापर क न े ीय म य काढा .
कृती - सोबत या नकाशात चार िब ंदू दश िवले आहेत नकाशा या दि ण ेकडील सीम ेला
पश क न ' ' अ का ळा व पि म ेकडील सीम ेला पश क न 'य' अ काढा . munotes.in
Page 53
िवचलनाची प रमाण े
53
नकाशातील चार A, B, C व D िबंदूना अशी नाव े िदली व ' ' आिण अ ा या स ंदभा त
यांचे सहग ुणक (co-ordinates ) काढल े. 1.8,5.2 , 4.7, 4.7 ,AB2,1.8 ,C 4.3,1.6D
या सहग ुणकांची सरासरी काढ यासाठी या ंची बेरीज क न िब ंदू या स ं येने r भागाव े
लागेल. िबंदू ' ' सहगुणांक 'य' सहगुणांक
A १.८ ५.२
B ४.७ ४.७
C २.० १.८
D ४.३ १.६ एकूण १२.८ १२.३
सरासरी 12.8 4 3.2 13.3 4 3.3
वरील त यान ुसार े ीय म याच े सहग ुणांक (' ' = २.२) व ('य' =२.३) आहेत.
आप याला िदल े या नकाशात या सहग ुणांना छ ेदन िब ंदू थापन क न आप याला
िदले या नकाशाचा े ीय म य काढा .
munotes.in
Page 54
54 ३
सहस ंबंध व ितगमन / समा यण
घटक रचना :
३.० उि े
३.१ तावना
३.२ सहसंबंधाचे कार
३.३ ितगमन र ेषा
३.४ गृहीत त व चाच या
३.० उि े
सहसंबंध तं ाची मािहती घ ेणे.
समा यण / ितगमन त ं ाची मािहती घ ेणे.
गृिहत त व चाच या समज ून घेणे.
३.१ तावना
एखा ा ग ुंतागुंती या िक ंवा ि ल अ यास िवषयाबाबत आपण ो पान े मािहती जमा
करतो , ती को कात मा ंडतो. याव न काही साधारणमान व िव कलनाची माप े काढतो .
मािहती को कात मा ंड यान े साधारणमान व िव कलमान काढ यान े संशोधन िवषयाबाबत
काही बोलण े आपणास श य होत े. परंतु साधारणमान िक ंवा िव कलमान काढण े जे हा
एकाच चलाचा िवचार करावयाचा असतो त े हा यो य असत े. काही व ेळा एखा ा घटन ेत
िकंवा अ यासात एकाप े ा अिधक चला ंचा िवचार करावा लागतो . यावेळी साधारणमान े
िकंवा िव कलनान े पुरेशी ठरत नाहीत . उदाहरणाथ जर आपण एका ख ेड्यातील
शेतक या ंकडून यांचे उ प न , खतांचा वापर , पा याचा वापर , िबयाणा ंचे कार , पज यमान
वगैरे बाब ची ग े या दहा वषा तील मािहती जमा क ेली तर क ेवळ उ प न खत े, पाणी या ंची
साधारणमान े व िव कलमान े काढून जमा क ेले या आकड ेवारीचा अ यास प ूण होत नाही .
परंतु आपण जर एका शेतक या ंचे उ प न व पाणी या दोन चलात काही स ंबंध िदस ून येतो.
याच माण े िठकिठकाण या र याव न जाणा या वाहना ंची स ं या, र याची ंदी व
होणार े अपघात याबाबत आपण जर आकड ेवारी जमा क ेली व ती श ेजारी ठ ेऊन पािहली तर
असे िदसेल क वाहना ंची सं या जशी वाढत जात े तशी अपघाता ंची सं या वाढत जात े. या
कार या दोन चलातील स ंबंधाला सहस ंबंध हणतात . संशोधकाला दोन चला ंम ये काही munotes.in
Page 55
सहसंबंध व ितगमन / समा यण
55 सहसंबंध आह े का ह े ही तपास ून पहाव े लागत े. “दोन िक ंवा अिधक चला ंम ये असणा या
संबंधाचे अि त व ठरिवण े, याची िदशा ठरिवण े व याच े मोजमाप करण े.”
३.२ सहस ंबंधाचे कार
सहसंबंधाचे मु यत: दोन कार क ेले जातात .
१) धन व ऋण सहस ंबंध
२) एकरेषीय व न ैकरेषीय सहस ंबंध
१) धन व ऋण सहस ंबंध :
धन व ऋण सहस ंबंध हा फरक कोण या िदश ेत चल े बदलत जातात यावर अवल ंबून
असतो . जर दो ही च ले एकाच िदश ेत बदलत असतील हणज े जे हा एक चल वाढत जात े
ते हा द ुसरेही वाढत जात े िकंवा जे हा एक चल कमी होत जात े ते हा द ुसरेही कमी होत
जाते, असे असेल तर या दोन चलातील सहस ंबंध धन आह े असे हणतात . उदाहरणाथ
तांदळाचे उ पादन व पज यमान , कुटुंबाचे उ प न व चैनी या व त ूवरील खच , व तूंची
िव व जािहरातीवरील खच यामधील सहस ंबंध धन आह े. उलटप ी जर चल े िव
िदशेने कमी होत असतील िक ंवा जे हा एक चल कमी होत जात े ते हा दुसरे वाढत जात े असे
होत अस ेल तर या दोन चलातील सहस ंबंध ऋण आह े असे हणतात . उदाहरणाथ
औषधाचा खप वाढला आिण म ृ यूचा दर कमी झाला , व तुंची िक ंमत व मागणी यामधील
सहसंबंध ऋण असतो .
याच माण े एका चलातील बदलाच े दुस या चलातील बदलाशी असणार े माण न ेहमी
कायम अस ेल तर या चलातील सहस ंबंधास प ूण सहस ंबंध हणतात . अथा त असा आदश
सहसंबंध यावहा र क िव ात विचतच आढ ळतो. सामा यपण े जर एका चलातील बदल व
दुस या चलातील बदल जव ळपास सार या माणात होत असतील तर या दोन चलात
उ च सहस ंबंध आह े असे हणतात . उदाहरणाथ तांदळाचे उ पादन व पावसाच े माण यात
उ च सहस ंबंध आह े. याउलट एका चलातील बदल व दुस या चलातील बदल कमी
माणात होत असतील तर या दोन चलात कमी सहस ंबंध आह े अस े हणतात .
उदाहरणाथ एखा ा िव ा या चे वजन व या िव ा या चे परी ेतील यश याम य े कमी
सहसंबंध आह े. एका चलातील बदल व दुस या चलातील बदल यात काहीच स ंगती नस ेल
तर या दोन चलात श ू य सहस ंबंध आह े असे हणतात .
२) एकरेषीय व न ैकरेषीय सहस ंबंध :
हा फरक सहस ंबंधा या आल ेखावर आधा रत आह े. या दोन चलात सहस ंबंध आह े, याचा
आलेख काढला व तो जर एक सर ळ रेषा अस ेल तर या चलातील सहस ंबंधास एकर ेषीय
सहसंबंध हणतात . आिण आल ेख जर र ेषा नस ेल तर तया सहस ंबंधास न ैकरेषीय सहस ंबंध
हणतात .
munotes.in
Page 56
ा यि क भ ूगोल
56 एकरेषीय सहस ंबंध असताना एका चलातील बदलाच े दुस या चलातील बदलाशी असणार े
माण सव िठकाणी सारख ेच असत े. हणज े एका िठकाणी मधील बदल १० असेल तर
य मधील बदल ८ असेल व दुस या िठकाणी जर मधील बदल ५ असेल तर य मधील
बदल ४ असेल.
उलट न ैकरेषीय सहस ंबंधात ह े माण ि थर असत नाही . हणज े एके िठकाणी मधील
बदल १० व य मधील बदल ८ असेल तर दुस या िठकाणी मधील बदल ५ व य मधील
बदल ३ होईल.
पूण सहस ंबंध (धन िक ंवा ऋण ) आिण एकर ेषीय सहस ंबंध या स ं ा समानाथ आह ेत.
सहसंबंध जे हा प ूण असतो त े हा याचा आल ेख एक सर ळ रेषा असत े. हणज ेच तो
एकरेषीय असतो . फरक इतकाच क प ूण धन सहस ंबंध अस ेल तर आल ेख चढती र ेषा
असतो व प ूण ऋण सहस ंबंध अस ेल तर आल ेख उतरती र ेषा असतो .
एकरेषीय सहस ंबंध
य य
१ ५ १० २५
२ १० २० २०
३ १५ ३० १५
४ २० ४० १०
५ २५ ५० ५
आलेख :
नैकरेषीय सहस ंबंध
य य
१० २० १० ७५
२० ३० २० ६०
३० ४५ ३० ५४
४० ५६ ४० ४०
५० ५० ५० २३
६० ३६ ६० ०८
munotes.in
Page 57
सहसंबंध व ितगमन / समा यण
57 ब) सहस ंबंध प रमाण :
सहसंबंध आह े एवढ्याच मािहतीच े सांि यकाला समाधान लाभण े श य नाही हण ून या
सहसंबंधाचे प रमाण शोधण े आव यक ठरत े. ाकृितक शा ात हा स ंबंध िनरप े असतो .
याक रता उ णता व िव ुत संबंधी असल ेले िनरिनरा या शा ा ंचे िनयम िवचारात घ ेतले
जातात .
सहसंबंध हा िनरिनरा या माणात आढ ळतो. एखा ा व त ू या प रमाणात वाढ न होता
केवळ ित या मागणीतच वाढ होत अस ेल व मागणी या माणात म ू य देखील वाढत अस ेल
तर याला प ूण िनि त सहस ंबंध अस े हणतात . उदा. खिनजा ंची मागणी वाढत असली तरी
यां या उ पादनावर मया दा असतात . यामुळे खिनजा ं या िकम ंतीतही वाढ होत े. हणज ेच
येथे िनमा ण होणारा सहस ंबंध हा प ूण िनि त सहस ंबंध असतो . समजा मागणीतील वाढ २५
ट के आहे व मू य द ेखील २५ ट के ने वाढल े तर त ेथे पूण िनि त स ंबंध आह े असे
समज यात य ेईल. समजा एखा ा द ेशा या े फळाचा संबंध ित या जिमनी या बाज ू या
लांबीशी अस ेल तर या ं यात होणार े प रवत न एकाच िदश ेने होऊन प रवत ना या
माणातही सा य अस ेल तर अशाव ेळी तेथे प रप ूण अनुलोम सहस ंबंध आह े अ स े
समज यात य ेते.
सहसंबंध पूण त: अनुलोम िक ंवा पूण त: िवलोमच अस ेल अस े हणता य ेत नाही . तो अंिशक
अनुलोम व अ ंिशक िवलोम द ेखील अस ू शकतो . िवशेषत:क आिथ क िक ंवा सामािजक
िवषयाबाबत या अ ंकात सहसंबंध पूण अंशाने आढ ळत नाही . जर मागणी १० ट के ने
वाढली तर िक ंमतीम य े देखील अगदी १० ट के नेच फरक पड ेल अस े हणता य ेत नाही .
ती वाढ कमी -जा त अस ू शकत े. या स ंगी 'अंिशक अन ुलोम सहस ंबंध' आहे अ स े
समज यात य ेईल.
दोन गो ीत म ुळीच सहस ंबंध नाही अशी उदाहरण े देखील अन ेक आह ेत. उदाहरणाथ
नदी या पा ाची ंदी व नदीजव ळच असल े या र याची ंदी. नदी या पा ाची ंदी व
नदीजव ळ या र या या ंदीचे अंक यात कोण याही कारचा सहस ंबंध नाही अस ेच
हणाव े लागेल.
सहसंबंध अशा िठकाणी स ंभवतो ज ेथे दोन गो चा आपसात य िक ंवा अ य स ंबंध
असतो . तसा स ंबंध नस ेल तर उदाहरणाथ िसंधुदुगा तील काज ू या उ प नाबाबत अ ंक य
करणारी पदमाला व र नािगरीतील आ ं यां या िनिम तीबाबत या अ ंकाची पदमाला
घेत यास व या दोह म य े गतवष या मानान े वृ ी आढ ळून आ यास ती सहसंबंध य
करते असे मानण े यो य ठरणार नाही . तो केवळ योगायोग ठर ेल.
सहसंबंधा या अ यासात आपण िनरिनरा या पायया ची ेणी तयार क शकतो . जर
पूण त: अनुलोम सहस ंबंध अस ेल तर याला आपण +१ असे हणतो . वा तिवक असा
संपूण अनुलोम सहस ंबंध अगदीच विचत आढ ळतो. हा संबंध बह धा कमी होत जातो आिण
पूण वाची मा ा प ूण वापास ून हळूहळू कमी होऊन श ेवटी श ू य होत े व तेथे सहस ंबंधाचा
लोप होतो . काही पदमालाम य े सहस ंबंध िवपरीत िदश ेने वाढत असतो . तो वाढत वाढत
शेवटी प ूण िवलोम पय त जातो . सहसंबंधा या दोन मा ा ठरतात . थम उ चतम सीमा व munotes.in
Page 58
ा यि क भ ूगोल
58 दुसरी य ुनतम सीमा . थम सीमा प ूण अनुलोम (ितचे िच ह +१) व दुसरी सीमा प ूण िवलोम
(ितचे िच ह -१) होय. संपूण सहस ंबंध विचतच अि त वात असतो . तो बह धा अ ंिशक
व पातच अि त वात असतो . हणज ेच सहस ंबंध नेहमी +१ व -१ या या म य े कुठेतरी
असतो . आपण या दोन पदमाला ंम ये संबंध पाहतो , यापैक थम पदमाल ेला कता
पदमाला अस े हणतात . व या पदमाल ेचा सहस ंबंध पाहतो ितला 'संबंधी पदमाला ' असे
हणतात . या दोन पदमाला ंचा सहस ंबंध काढ यासाठी या मापाचा आपण उपयोग करतो
या मापाला सहस ंबंध गुणक अस े हणतात .
क) सहस ंबंध काढ या या िनरिनरा या प ती :
सहसंबंध काढ या या प तीचा िवचार कर याप ूव एक गो ल ात ठ ेवली पािहज े क दोन
पदमाला ंचा सहस ंबंध व दोन 'वगा चा' सहसंबंध यात फरक आह े. या दो ह चा सहस ंबंध
काढतना सव च प तीचा य ेक वेळी उपयोग होऊ शकेलच अस े हणता य ेत नाही . दोन
पदमाला ंचा सहस ंबंध काढतना सव च प तीचा य ेक वेळी उपयोग होऊ शकेलच अस े
हणता य ेत नाही . दोन पदमाला ंचा सहस ंबंध काढताना 'काळ' अिधक मह वाचा समज यात
येतो. ठरािवक का ळात दोन पदमाला ंम ये जी उ चावचन े घडतात या ंची आपसात तुलना
कर यात य ेते. उदाहरणादाखल आपण ग हाच े १५ वषा चे उ पादन व या वषा त झाल ेली
आयात -िनया त अथवा एका वषा तील बारा मिह यात एखा ा व त ूची मागणी व या बारा
मिह यात या व त ूचे मू य याची त ूलना या गो ी घ ेऊ या . यात याच ठरािवक समयाबाबत
दो ही पद मालांची म ू ये आ ह ेत. या कार या पदमाला ंना कािलक चला ंची उदाहरण े
हणतात . या उदाहरणात का ळाला मह व असत े.
उलट ज े अकािलक चल असतात , याचा सहस ंबंध काढताना का ळाचे मह व नसत े. यांना
'वग ' हणतात . उदा. िनरिनरा या य ची उ ंची व या ंचे वजन याचा सहस ंबंध िकंवा आई -
मुलां या उ ंचीचा सहस ंबंध हा वग क ेत येतो. तेथे काळाचा संबंध येत नाही .
सहसंबंध काढ या या खालील प ती आह ेत -
१) काल िपअरसन या सहस ंबंध गुणका या मदतीन े सहस ंबंध काढण े.
२) संगामी िवचलन ग ुणका या मदतीन े सहस ंबंध काढण े.
३) िबंदूरेखा या मदतीन े सहसंबंध काढण े.
४) िव ेप िच ा या मदतीन े सहस ंबंध काढण े.
५) िपअरसन या प तीन े काढण े.
१) काल िपअर सन या प तीन े सहस ंबंध काढण े :
कोण याही दोन पदमाला ंम ये सहस ंबंध आह े िकंवा नाही एवढ ेच या दोन प त या
मदतीन े कळते एवढे मा य ेथे नमूद करण े आव यक वाटत े. हणज ेच दोन पदमाला ंम ये
सहसंबंध अस यास तो िकतपत आह े या बाबतची मािहती या प त नी िम ळत नाही .
सहसंबंधाचे अि त व िक ंवा अभाव याबाबतच मािहती िम ळते. हणून सहस ंबंधाचे माप munotes.in
Page 59
सहसंबंध व ितगमन / समा यण
59 िकंवा प रमाणाच े अंक या प त ार े काढता य ेत नाहीत . एवढी गो प आह े. यासाठी
ती प ती अन ुपयु आह े.
सहसंबंध गुणक काढ यासाठी सवा त थम य न व अन ुसंधान कर याच े ेय ी. काल
िपअरसन या ंना आह े. यांनी य ना ंती जे सू शोध ून काढल े या या मदतीन े सहस ंबंधाचे
प रमाण ब याच अंशी काढण े श य झाल े आहे. ती प ती समा धानकारक अस यान े बरीच
चिलत झाली आह े. या स ू ाला माप ही या या जनकाच ेच िदल े आहे. याला सहस ंबंध
काढ याच े काल िपअरसनच े सू हणतात . या स ू ाची मा ंडणी खालील प तीन े कर यात
येते.
या सू ात Edxdyr=nX xx y
या सू ात r = coefficient of correlation
Edxdy = The sum of the products of the pairs of deviations from the
respective means of two series
n = total no. of pairs of items.
x =S.D.of x seriesx =S.D.of y series
या सू ाचा उपयोग कर यासाठी थम कता पदमाला िलिहतात आिण न ंतर काही अंतरावर
दुसरी स ंबंधी पदमाला िलिहतात . नंतर दो ही पदमाला ंची म यक े काढतात . यानंतर थम
पदमाल े या य ेक पदाच े व या पदमाल े या म यकापास ून िवचलन काढ यात य ेते व ते
िवचलन प ुढ या त ंभात िलिह यात य ेते. याला x संकेत श दान े संबोधतात . िवचलन
काढून ते या पदमाल ेपुढे िलिह यात य ेते. याला y संकेत श दान े संबोधतात . यानंतर x व
y दो ह च े वग काढून x वग व y वग या स ंकेत श दान े यांना संबोधून ते अनु मे x व y या
पुढ या त ंभात िलिह यात य ेतात. सवा त शेवट या त ंभात x व y चा गुणाकार िलिह या त
येतो. याला xy संकेत श दान े य करतात . या xy तंभा या ब ेरजेला Exy या संकेत
श दान े य करतात . एकूण सं येसाठी ह हा स ंकेत श द आह े. नंतर माग े पािहल े या
प तीन े दोनी पदमाला ंचे माण िवचलन काढ यात य ेते. यांना अन ु मे x व y या संकेत
श दाने य करतात .
सहस ंबंध गुणकाच े िनव चन :
पदमाला ंचा सहस ंबंध गुणक +१ (प रपूण अनुलोम सहस ंबंध) आिण -१ (प रपूण िवलोम
सहसंबंध) यां या म य ंतरी असतो . यावेळी गुणक ० असतो याव ेळी या पदमाला ंम ये
मुळीच सहस ंबंध नसतो . पुढचा हणज े जर सहस ंबंध अस ेल तर प आह े काय ?
यासाठी ग ुणका या स ंभा य िव मावर आधारल ेलया खालील चार म ु ांवर िवचार करावा
लागेल -
munotes.in
Page 60
ा यि क भ ूगोल
60 १) जर r संभा य िव माप े ा कमी अस ेल तर चला ंम ये सहस ंबंधाचे मुळीच अि त व
नसेल.
२) जर r संभा य िव मा या सहापटीप े ा जा त अस ेल तर सहस ंबंध प आ हे. हणज े
याचे िनि त अि त व आह े असे हणाव े लागेल.
३) जर r ०.३० पे ा कमी अस ेल आिण स ंभा य िव म द ेखील याच माणात कमी
असेल तर सहस ंबंध प आह े असे समजल े जाऊ शकणार नाही .
४) जर r ०.५० पे ा जा त अस ेल आिण स ंभा य िव म या मानान े कमी अस ेल तर
सहसंबंध िनि तपण े अि त वात आह े असे समजाव े.
जर r लहान अस ेल आिण ह जा त नसतील तर स ंभा य िव म आ हाला च ुक या
िन कषा कडे घेऊन जाऊ शकतो ही गो ल ात ठ ेवली पािहज े. हणून ह भरप ूर माणात
असण े अ याव यक होय . ह भरप ूर माणात अस ेल तर मग सहस ंबंध गुणका या व संभा य
िव मा या स ू ा ार े काढल ेले िन कष िव सनीय ठरतील .
सहसंबंध गुणकाच े िनव चन करताना वरील चारही िनयम ल ात असल े पािहज ेत. सहसंबंध
साधरणत : यो य असतो ह े या िठकाणी प होत े. तसेच उदा . पुरवठा व व त ूंचे मू य यात
घिन िवलोम सहस ंबंध अस ेल तर प ुरवठ्याम य े झाल ेली वाढ ह ेच िकंमत कमी हो याच े
एकमेव कारण आह े. असाही अथ लावण े बरोबर होणार नाही . मू य कमी हो याची अ य
अनेक कारण े देखील अस ू शकतात . हणून दोन पदमाला ंम ये सहस ंबंध आह े.
एवढ्याव नच य ेक वेळा या चलाम य े पर परात य कार ण व प रणाम स ंबंध आह े
असे हणता य ेणार नाही .
२) संगामी िवचलन -गुणक प ती :
काल िपअरसन प तीलाच सम ॉ ड ट ग ुणन योग प तीद ेखील हणतात . कारण यात
सहसंबंध गुणक िवचलना या ग ुणाकारावर अवल ंबून असतो . परंतु या प ती त दो ही चल -
मालांम ये होणा या प रवत नाची केवळ िदशा दाखिव यात य ेते. यावेळी एका चलाम य े
होणा या प रवत नाची क ेवळ िदशा चला या प रवत नावर काय प रणाम होतो व प रणाम
होत अस ेल तर कोण या कारचा व कोण या िदश ेने हे ओळखायच े असेल तर मग स ंगामी
िवचलन ग ुणक प तीचा उपयोग करतात . काल िपअरसन या प तीशी त ुलना क ेली
असता ही स ंगामी िवचलन ग ुणक प ती अ पकालीन प रवत नाचे अ ययन कर यासाठी
बरीच सोपी आह े. दीघ कालीन प रवत नाबाबत मा ही प ती उपय ु ठरत नाही कारण या
प तीत चलाची सामा य व ृ ी िक ंवा उपिनत ेवर िवचार अवल ंबून ठेव यात य ेत नाही .
या प तीत समा ंतर मा यापास ून अथवा चल मा यापास ून िवचलन न काढता माग या
आकड ्यांशी त ुलना करता प रवत न कोण या िदश ेने होत आह े याच गो चा िवचार
कर यात य ेतो. प रवत न िकतपत झाल े आहे या गो ीचा द ेखील िवचार कर यात य ेत नाही .
या प तीन े सहस ंबंध गुणक काढ या साठी खालील स ू वापरतात .
munotes.in
Page 61
सहसंबंध व ितगमन / समा यण
61 2c -nr=n
या सू ात -
r - संगामी िवचलन ग ुणक
n - संगामी िवचलन े या य ु मांची सं या
n -िवचलन काढल े या पदय ु मांची सं या
काल िपअरसन या स ू ा माण े यािठकाणी द ेखील +१ हे पूण अनुलोम, -१ पूण िवलोम व ०
सहसंबंधा या अि त वात अभाव दश वते.
या सू ाचा उपयोग करताना य ेक चला या िनरिनरा या पदात मागील पदा ंशी तुलना
करता , कोण या िदश ेने प रवत न घडल े आहे हे शोधाव े लागत े. हणज ेच मागील पदा ंशी
तुलना करता प ुढ या पदात वाढ झाली क हास झाला ह े शोधतात . जर व ृ ी झाली तर
प रवत नाची िदशा अिधक आह े व हास काहीच नस ेल तर तो तो अ ंक सम (=) समजला
जावा िक अशा कार े चलां या िनरिनरा या पदांची मागील पदा ंशी तुलना करता कोण या
िदशेने प रवत न घडल े ते काढ यात य ेते व नंतर दो ही या प रवत ना या िदश ेबाबत िवचार
कर यासा ठी दो हीचा ग ुणाकार अिधक य ेईल. हणज ेच य ेक पदय ु माची दो ही िच ह े
समान असतील तर याला स ंगामी िवलन हण ून संबोध यात य ेईल. जर चला ं या
पदयु मांची िच ह े एक दुस याला िवपरीत िदश ेने प रवित त होत असतील तर ग ुणाकार उण े
येईल व त े असहकार दाखवतील . नंतर स ंगामी िवचलनाची ब ेरीज कर यात य ेईल हणज ेच
िकतीचा ग ुणाकार अिधक आला ह े पहाव े. याला गा श दान े संबोधाव े. नंतर वर िदल े या
सू ाचा उपयोग कर यात य ेईल. या स ू ात स हणज े िवचलन काढ याचा पदय ु मांची
सं या.
वरील स ू ात ची िच ह े दो ही िठकाणी िदली आह ेत. जर 2c -nn वजा य ेत ६ असेल
तर मग याच े वग मूळ िनघू शकणार नाही . या प रि थतीत वग मूळ िच हा ं या आतील उण े
िच ह द ेऊन स ं या अिधक िच हात आणावी लाग ेल व न ंतर वग मूळ काढाव े लागेल. नंतर
वग मूळ िच हा या आ रंभी द ेखील उण े िच ह द ेऊन उ र काढाव े लाग ेल या माण े 2c -nn ची िच ह ेच कायम ठ ेवून वग मुळ काढण े सोपे हाव े हण ून ही ची िच ह े
दे यात आली आह ेत.
३) िबंदूरेखीय िवधी :
वरील दो ही प तीप े ा ही प ती सोपी आह े व ितचा उपयोग द ेखील फारच सोपा आह े. या
प तीन ुसार दो ही चला ंसाठी व काढतात व न ंतर काल िवल ंबनाची श यता ल ात
घेऊन दो ही व ाम य े अनुलोम िक ंवा िवलोम सहस ंबंध आह े काय ह े केवळ िनरी णान े
शोध याचा य न होतो . हणज े फ िनरी णान े सहस ंबंधाचे अि त व ओ ळखता य ेते. जर
एका व ाच े प रवत न दुस या व ा माण ेच अस ेल तर दोन पदमाला ंत काहीसा अन ुलोम munotes.in
Page 62
ा यि क भ ूगोल
62 सहसंबंध आह े असे आपण हण ू शकतो . जर एका व ात एका िदश ेने व दुस या व ात
दुस या िदशेने प रवत न होत अस ेल तर दोन पदमाला ंम ये काहीसा िवलोम सहस ंबंध आह े
असे आपण हण ू शकतो . व ा या िनरी णान े सहस ंबंध अन ुलोम आह े क िवलोम एवढ े
ज र क ळते. पण िवलोमाच े िकंवा अन ुलोमाच े माण िक ंवा सीमा मा क ळत नाही . या
प तीची ही एक उणीव होय .
४) िव ेप िच रीती :
सहसंबंध शोध यासाठी ही प ती द ेखील उपयोगात य ेऊ शकत े. दोन पदमाला ंम ये संबंध
दाखिवणार े हे एक िच असत े. वा तिवकक िब ंदूरेखाने सहस ंबंध दाखिव या या प तीचीच
ही एक प ती होय . िबंदूरेखाचे हे एक क च े व प होय . िबंदूरेखीय प तीत िब ंदू जोडून
व तयार करतात . या िव ेप िच प तीत दो ही पदमाला ंसाठी एक माप ेणी घेऊन एका
िबंदूरेखप ावर िब ंदू मांड यात य ेतात. जर पदमाला ंम ये सहस ंबंध अस ेल तर ह े िबंदू
सहसंबंधा या प रमाणा या माणत कमी जा त ंदीने एकम ेकांजवळ येताना आढ ळतात.
सहसंबंधाचे प रमाण ज ेवढे जा त , तेवढेच िब ंदू एकम ेकाशेजारी य ेताना आढ ळतात.
आपसात धन सह संबंध अस ेल तर त े िबंदू एका सर ळ रेषे या पान े िदसतील व याची
िदशा डा या बाज ूला खाल ून वर उजवीकड े जाताना िदस ेल. सहसंबंध िवलोम अस ेल तर
रेषा या या उलट िदश ेने जाईल . हणज े उज या बाज ू या वरपास ून िनघ ून डा या बाज ूस
खाल या बाज ूस येईल.
खालील आक ृतीव न वरील क पना प होतील -
भूगोल व गिणत िवषयात परी ेला असल े या िव ा या ना िम ळाले या ग ुणांम ये सहस ंबंध
शोधा.
िव ाथ भूगोल गिणत िव ाथ भूगोल गिणत
१ ७५ ३० ७ २५ ८०
२ ४० ६५ ८ १० ८५
३ ३० ६८ ९ ९५ १०
४ ८५ १८ १० ६५ ३४
५ ३३ ७० ११ ५५ ४५
६ ९० ५० १२ ३३ ६५
िव ेप िच आक ृती :
वरील िच ाव न अस े िदसत े क िब ंदू एकम ेकांशेजारी आह ेत व या ंची िदशा उजवीकड ून
डावीकड े वर चढ याची आह े हणून यात कमी जा त माणात प रप ूण िवलोम सहस ंबंध
िदसून येतो.
munotes.in
Page 63
सहसंबंध व ितगमन / समा यण
63 ५) ि पअरमनची पदि थती िक ंवा ेणी प ती :
ही प ती ोफेसर वाल स ि पअरमनन े शोधून काढली आह े व ती पदि थती िक ंवा ेणीवर
आधारल ेली अस यान े ती वरील नावान े िस झाली आह े. पदांना या ं या आकारा माण े
अगोदरच िव य त कर यात य ेते व न ंतर या ंना पदि थती द े यात य ेतात. नंतर
पदि थतीमधील फरक काढ यात य ेतो व याला प स ंकेत श दान े संबोध यात य ेते. नंतर
खालील स ू ा या मदतीन े सहस ंबंध गुणक काढतात .
या सू ात - 2
21Edr =1-nn
ि पअरमन या स ू ाने काढल े या सहस ंबंधाचा स ंकेत श द = प आह े. n=सं या 2Ed
पदि थती या फरका या वगा ची बेरीज.
ि पअरमन या प तीन े पदम ू यांची पदि थती ( म िक ंवा थान ) िनि त करताना क े हा
के हा दोन पदम ू ये समान आढ ळतात. अशा व ेळी यांना कोण या िनयमान ुसार थान
िकंवा पदि थती ावी हा एक उपि थत होतो . या ाचा िनण य खालील दोन
प ती मधून कोण याही एका प तीचा अवल ंब क न कर यात य ेतो. परंतु सामा यत :
दुस या प तीचाच उपयोग करतात .
अ) केटची पदि थती प ती :
या प तीत चला ं या समान पदम ू या या सव पदांना सारखीच पदि थती द े यात य ेते.
आिण न ंतर या पदमू याला अशा कार े पदि थती द े यात य ेते क जण ू समान पदम ू य
अि त वात नसताना ावी लागत आह े.
आ) म य-पदि थती प ती :
या प तीत चला या समान पदम ू या या पदा ंना समान पदि थती असत े. ही सव चलांनी
अंिगकारल े या पदि थतीची सरासरी असत े. चलातल े दुसरे पदमू य न ेहमी माण े याच
पदि थतीत जात े या पदि थतीत त े पदमू य समान नसताना ग ेले असत े.
३.३ ितगमन र ेषा
िदले या आकड ेवारीम य े िकंवा साधनसाम ु ीम य े दोन चल े िकंवा घटक असतील व त े
घटक एकम ेकांशी िनगडीत असतील तर यास आपण सहस ंबंध हणतो . सहसंबंध
असल े या दोन चलाप ैक एका चलातील मािहतीव न दुस या चलास ंबंधी अ ंदाज करण े
मू य िनि त करण े हणज ेच ितगमन होय . हा एका सहस ंबंधीत चला या मािहतीव न
दुस या चला या िक ंमतीचा अ ंदाज काढ यासाठी आल ेख कागदावर या र ेषा काढ या
जातात याला ितगमन र ेषा अस े हणतात . या रेषा काढ यान ंतर एका चलाचा िनद श
करणा या रेषा या माणात द ुसरी र ेषा वाढिव यास आपणास पािहज े असल ेले मू य
उपल ध होत े. ितगमन या श दाचा थम उपयोग फा सीस गरलीस या ंनी १८७७ साली
केला. याने थमत : मुलगा व वडील या ं या उ ंचीतील स ंबंध प कर या साठी munotes.in
Page 64
ा यि क भ ूगोल
64 ितगमनाचा वापर क ेला. या यान ंतर स ं याशा ाम य े, अथ शा ाम य े व स या िविवध
े ाम य े ितगमनाचा वापर होत आह े. ितगमन र ेषांचा उपयोग अथ शा िविवध
यवसाय , िविवध समाजशा ाम य े मोठ्या माणात होतो . समजा दोन चल े अनु मे आिण
y असतील तर या ं या पास ून दोन ितगमन र ेषा काढा या लागतात . यांना x on y
आिण y on x असे हणतात . या यासाठी दोन समीकरण े तयार करण े आव यक असत े.
या दोन ितगमन र ेषाव न या दोन चलातील असल ेला + धन िक ंवा ऋण सहस ंबंध अच ूक
प करता य ेतो. हणूनच या रेषांचा उपयोग मोठ ्या माणात होतो . िदले या िवतरणाम य े
दोन िक ंवा अन ेक चलाम य े सहस ंबंध अस ेल व तो सहस ंबंध आल ेख कागदावर व ा या
सहा यान े दाखिव यान ंतर याला ितगमन व अस े हणतात . परंतु हा व जर सर ळ
रेषला असेल तर तया र ेषेला ितगमन र ेषा अस े हण तात. जर दोन ितगमन र ेषा
एकमेकांवर अवल ंबून असतील तर या ं याम य े सहस ंबंध असतो .
जर दोन िक ंवा अिधक ितगमन र ेषा एकम ेकां या जव ळ असतील तर या ं यामधील
सहसंबंध जा त असतो .
आलेख -
दोन िक ंवा अिधक ितगमन र ेषा आल ेख कागदावर एकम ेक या द ूर असतील तर या
घटकामधील िक ंवा चलामधील सहस ंबंध कमी असतो .
आलेख -
जर दोन चला या ितगमन र ेषा एकम ेक स या िठकाणी छ ेदत असतील ती छ ेदून िबंदू या
दोन चलाची सरासरी असत े.
आलेख -
ितगमन स ु -
दोन चलामधील असल े या एका चलामधील मािहतीव न दुस या चलातील अ ंदाज
कर यासाठी िक ंवा मु य िन ीत कर यासाठी दोन र ेषांचा उपयोग होतो . यासाठी दोन
ितगमन स ु ांची आव यकता असत े.
उदा. x , y ही दोन चल े असतील तर x या चलाव न y बदलत अस ेल तर यास x on y
आिण y चलाव न x िकंमत बदलत अस ेल तर y on x असे हणतात .
Regression equation of y on x
y =a+bxy =Na+b x a andb =constantxy = a b x2 munotes.in
Page 65
सहसंबंध व ितगमन / समा यण
65 xo ny
x=a+b
x =Na+b yxy = a y b y2
३.४ गृहीत त व चाच या
गृहीत त व चाच या ंचे कार - गृहीत त वा ं या चाच या सामा यपण े दोन कारा ंत
िवभाग या जातात .
१) प रमाणरिहत व
२) प रमाणा मक चाच या
प रमाणरिहत चाच या नम ुनािवतरणा ंची सै ांितक िवतरणा ंशी तुलना क ेली जात े िकंवा दोन
वेग या िवतरणा ंची एकम ेकांशी तुलना क ेली जात े ते हा या चाचणीस प रमाणरिहत चाचणी
असे हटल े जात े. सम ीतील िनरी णम ू यां या िवतरणाबाबत , सम ी या अमया द
आकाराम ुळे जे हा काहीच क पना करता य ेत नाही . ते हा या चाच या उपय ु ठरतात .
जे हा िवतरण े एकिशखरी िक ंवा बह िशखरी असतात . ते हाही या चाच या ंचा उपयोग होतो .
ब याच वेळा नमु यातील िनरी णम ु ये ही मोजदाद क ेले या व पात असली तरी
प रमाणरिहत चाच या ंचा वापर क ेला जातो . वाय व ेअर क े एस या म ुखा प रमाणरिहत
चाच या आह ेत. 2Xचाचणी : अपेि त िवतरण व य िवतरण या ंची तुलना करणा या या चाचणीस
'एकवा यत े या यो यत ेची चाचणी ' हटल े जात े. यात ाम ु यान े िन व ळ वारंवारता या
व पात िनरी ण े वापरली जातात . एक व दोन िक ंवा जा त नम ु यांसाठी ही प त कशी
वापरावी त े पुढे िदली आह े. KS चाचणी : दोन िवतरणा ंची त ुलना कर यासाठी व यातील एकवा यता
तपास यासाठी कोलमो ो ह ि मरनॉ ह या ंनी मा ंडलेली चाचणी कशी वापरावी त ेही पुढे
िदले आहे.
2X Test(एक नमुना प ती ) : नवीन महामागा ची िनिम ती करताना या े ातील
तोडल े या झाडा ंची जी स ं या आढ ळली या ंची मािहती प ुढील त यात िदली आह े.
तोडल े या झाडा ं या स ं येचे हे िवतरण , अपेि त िवतरणाप े ा फारस े िभ न नाही ह े गृहीत
त व िव ासाह ते या ०.००५ व ०.००१ या पात यांवर 'काय व ेअर' या चाचणीचा
वापर क न ा अथवा या य ठरवा .
munotes.in
Page 66
ा यि क भ ूगोल
66 नवीन महामागा चा
देश - अ ब क ड इ फ ग ह ए ज
तोडल े या झाडा ंची
सं या - १२ १७ १९ ११ २४ १८ ९ १४ २६ २३
22 OExE हे सू वापर यासाठी प ुढील आकड ेवारी तयार करण े आव यक
आहे.
िचखलय ु तुकड्यांची अप ेि त स ं या ही त ुकड्यां या य सं येची सरासरी अस ेल
हणज ेच ती 8x या सू ा माण े 17317.310 असेल.
य स ं या
(O) अपेि त सं या (O) O-E (O-E)2 2OEE
१२ १७.३ -५.३ २३.०९ १.६२
१७ १७.३ -०.३ ०.०९ ०.००५
१९ १७.३ १.७ २.८९ ०.१७
११ १७.३ -६.३ ३९.६९ २.२९
२४ १७.३ ६.७ ४३.८४ २.५९
१८ १७.३ ०.९ ०.४९ ०.२८
९ १७.३ -३.३ ६३.८९ ३.९८
१४ १७.३ -३.३ १०.८९ ०.६३
२६ १७.३ ३.७ ७५.६९ ३.३८
२३ १७.३ ५.७ ३२.४९ १.८७
१७.५७
याव न चाचणीची मा ंडणी प ुढील माण े केली जात े. oH - शू यवत ग ृहीत व : िचखलय ु गाळा या तुकडया ंचे य िवतरण व याच े अपेि त
िवतरण या ंत ल णीय फरक नाही .
..LS िव ासाह ते या पात या - ०.०५/०.०१
..DF िवमु सं यामापन : 1 10 1 9 n
22:X cal x चे िन कष मू य : १७.५७ munotes.in
Page 67
सहसंबंध व ितगमन / समा यण
67 22:X tab x चे को कम ु य : ०.०५ पातळीसाठी १६.९१९ व ०.०१ पातळीसाठी
२१.६६६ (को क मू यासाठी प रिश पाहाव े)
िन कष : 2Xचे मू य ०.०५ पातळीसाठी को कम ू यापे ा जा त अस याम ुळे या
पातळीवर गृहीतत व या य तर ०.०१ पातळीवर ा ठर ेल.
को क िक ंवा दुहेरी वग करण : 2X test : Cont inency Table जे हा िनरी णाच े वग करण ह े दोन घटका ं या
सहायान े केले जात े. ते हा िनरी णम ू यांचे को क व पात सादरीकरण क न ,
िनरी णम ू यांचे िवतरण व अप ेि त म ू यांचे िवतरण या ंची तुलना क ेली जात े.
पुढील उदाहरणात िविवध द ेशात आढळणा या काही पीक काराच े िवतरण दाखिवल े
आहे.
पीक कार महारा पंजाब ज मू काि मर एकूण
अ ३० १० १० ५०
ब ५० ३० २० १००
क ५० ६० ४० १५०
ड १० २० २० ५० एकूण १४० १२० ९० ३५०
शेवट या त ंभात व श ेवट या ओ ळीत याची एक ूण बेरीज क न यावी . या बेरजां या
आधार े व पुढील स ू ाचा वापर क न अप ेि त िवतरणाच े को क िम ळवावे. RowTotal ColumnTotalExpected FrequencyGrandTotal
DeHee s f#ele cetu³eSketÀCe yesjep r eDeesUerleerue yesjerpe mlebYeeleerue yesjepre
50 140GoenjCeeLe& :30 ³ee Heen f u³ee meK b ³e® s es DeHesef#ele cetu³e 20350
या माण े येक सं येचे मू य काढाव े व पुढील कारच े को क तयार कराव े.
munotes.in
Page 68
ा यि क भ ूगोल
68 पीक कार महारा पंजाब ज मू काि मर एकूण
अ ३० १० १० ५०
ब ५० ३० २० १००
क ५० ६० ४० १५०
ड १० २० २० ५०
एकूण १४० १२० ९० ३५०
अपेि त िवतरण व य िवतरण यात मह वप ूण फरक आह े िकंवा नाही ह े गृहीतत व
तपास यासाठी च े मू य पुढील माण े ठरिवल े जाईल .
य स ं या
(O) अपेि त स ं या
(O) O-E (O-E)2 2OEE
३० २० १०.० १००.०० ५.००
५० ४० १०.० १००.०० २.५०
५० ६० -१०.० १००.०० १.६७
१० २० -१०.० १००.०० ५.००
१० १७.१ -७.१ ५०.४१ २.९४
३० ३३.३ -३.३ १३.४९ ०.५४
६० ५१.४ ३.६ ७३.९६ १.४४
२० १७.१ २.९ ३.४१ ०.४९
१० १२.९ -२.९ ३२.४९ ०.६५
२० २५.७ -५.७ १.९६ १.२६
४० ३३.६ १.४ ५०.४१ ०.०५
२० १२.९ ७.१ ३.९०
२५.४६
याव न चाचणीची मा ंडणी प ुढील माण े केली जात े. oH - शू यवत ग ृहीत व : पी कार व या ंचे देश यास ंबंधीचे य िवतरण अप ेि त
िवतरणा पे ा फारस े वेगळे नाही. ..LS िव ासाह ते या पात या - ०.०५/०.०१
..DF िवमु सं यामापन : दुहसेरी वग करण असताना ह े सं यामान : 11rc
हणज ेच (ओळ ची सं या -१) ( तंभांची सं या -१) एवढे असेल. munotes.in
Page 69
सहसंबंध व ितगमन / समा यण
69 22:X cal x चे िन कष मू य : २५.४६
22:X tab x चे को कम ु य : ०.०५ पातळीसाठी १२.५९२ व ०.०१ पातळीसाठी -
१६.८१२ (को कम ू यासाठी प रिश पाहाव े)
िन कष : चे मू य ०.०५ पातळीसाठी को कम ू यापे ा जा त अस याम ुळे या पात ळीवर
गृहीतत व या य तर ०.०१ पातळीवर ा ठर ेल.
munotes.in
Page 70
70 ४
नमुना
घटक रचना :
४.० उि े
४.१ तावना
४.२ भूगोल म ये नमुना आिण नमुना िडझाइन
४.३. िबंदू नमुना - प तशीर आिण या ि छक
४.४. रेषा नम ुना - प तशीर आिण या ि छक
४.५ े नमुना - प तशीर आिण या ि छक
४.० उि े
भूगोल म ये नमुना आिण नमुना िडझाइन समजून घेणे
िबंदू नमुना - प तशीर आिण या ि छक चा उपयोग
रेषा नम ुना - प तशीर आिण या ि छक
े नमुना - प तशीर आिण या ि छक
४.१ तावना
या करणात , आपण भूगोलातील ब ल जाणून नमुनाब ल मािहती घेणार आहोत , नमुना
हणज े काय हे जाणून घेत यान ंतर आपण िबंदू, रेषा आिण े ाचे नमुने घे या या िविवध
कारा ंब ल िशकू. तसेच आपण प तशीर आिण या ि छक नमुना िशकू.
जे हा तु ही कोण याही कार ची मािहती गोळा करता , िवशेषत: प रमाणा मक मािहती ,
मग तो िनरी णा मक असो, सव णां ारे िकंवा दु यम मािहती मधून, तु हाला कोणता
मािहती गोळा करायचा आिण कोणाकड ून हे ठरवाव े लागेल. याला नमुना हणतात .
तुमचा नमुना िनवड याच े आिण ते तु हाला िव सनीय आिण िव ासाह प रणाम देईल याची
खा ी कर यासाठी िविवध माग आहेत.
munotes.in
Page 71
नमुना
71 ४.२ भूगोल म ये नमुना आिण नमुना िडझाइन
नमुना हणज े काय?
• संपूण लोकस ं येची तपासणी कर यासाठी शॉट कट प त
• मािहती संपूण पालक लोकस ं ये या एका छोट्या भागावर िकंवा नमुना ेमवर गोळा
केला जातो आिण संपूण िच कसे आहे याची मािहती दे यासाठी वापरला जातो.
नमुना का?
य ात फ पुरेसे नाही; वेळ, ऊजा , पैसा, म/माणूस श , उपकरण े, पालक
लोकस ं या िकंवा संपूण सॅ पिलंग ेममधील येक आयटम िकंवा साइट मोज यासाठी
यो य साइटवर वेश.
हणून एक ितिनधी िमळिव यासाठी यो य नमुना धोरण अवल ंबले जाते आिण संपूण
नमुना सांि यक य ्या वैध आहे.
नमुना िवचार
• मोठ्या नमु याचे आकार संपूण गो च े अिधक अचूक ितिनिध व करतात
• िनवडल ेला नमुना आकार सांि यक य ्या वैध ितिनिध व िमळवण े आिण वेळ,
ऊजा , पैसा, म, उपकरण े आिण उपल ध वेश यां यातील संतुलन आहे.
• िकमान प पातीपणासह तयार केलेली नमुना धोरण सवा त सांि यक य ्या वैध
आहे
• बह तेक ीकोन गृहीत धरतात क पालक लोकस ं येचे सामा य िवतरण असत े जेथे
बह तेक व तू िकंवा य सरासरी या जवळ असतात , काही टोकांसह
• 95% संभा यता िकंवा आ मिव ास पातळी सामा यतः गृहीत धरली जाते,
उदाहरणाथ 95% व तू िकंवा य सरासरीपास ून अिधक िकंवा वजा दोन मानक
िवचलना ंम ये असतील
• याचा अथ असाही होतो क या या बाहेर पाच ट के असू शकतात - सॅ पिलंग,
िकतीही चांगले असल े तरीही केवळ अगदी जवळचा अंदाज अस याचा दावा केला
जाऊ शकतो .
नमुना तं
नमुना तं ाचे दोन मु य कार आह ेत :
• या ि छक
• प तशीर
या कारा ंम ये, तु ही नंतर िनण य घेऊ शकता ; िबंदू, रेखा, े प त. munotes.in
Page 72
ा यि क भ ूगोल
72 १. या ि छक नमुना
• सव सॅ पिलंग तं ांम ये िकमान प पाती , कोणतीही स जेि टि हटी नाही - एकूण
लोकस ं येतील येक सद याला िनवडल े जा याची समान संधी आहे
• या ि छक सं या सार या वाप न िमळवता येते
• माय ोसॉ ट ए सेलम य े या ि छक सं या तयार कर याच े काय आहे
• =RAND()
ते सेलम य े टाइप करा आिण ते या सेलम य े या ि छक सं या तयार करेल. सेल या
िनवडीम य े सू कॉपी करा आिण ते या ि छक सं या तयार करेल.
तु हाला हवी असल ेली ेणी िमळव या साठी तु ही फॉ य ु ला सुधा शकता , उदाहरणाथ
तु हाला एक ते 250 पय त या ि छक आकड ्या ह या अस या स, तु ही खालील
फॉ य ु ला एंटर क शकता :
• =INT(250*RAND())+ 1
जेथे INT दशांश नंतर अंक काढून टाकत े, 250* क हर कर यासाठी ेणी तयार करते
आिण +1 ेणीतील सवा त कमी सं या सेट करते.
वाप न जोडल ेले मांक देखील िमळू शकतात ;
• =INT(9000 *RAND())+ 1000
हे नंतर ि ड कोऑिड नेट्स, मीटर आिण स टीमीटर सॅ पिलंग टेश स हणून िकंवा
कोण याही यवहाय मागा ने वापरल े जाऊ शकतात .
• =RAND()
काय प ती
१. या ि छक िबंदू नमुना
• अ यास े ा या नकाशावर एक ि ड काढला जातो
• या ि छक सं या सार या ंचा वापर गुणांसाठी िनद शांक/ि ड संदभ ा कर या साठी
केला जातो
• नमुना श य ितत या या िबंदूं या अगदी जवळ केले जाते
munotes.in
Page 73
नमुना
73 २. या ि छक रेषा नमुना
• या ि छक सं या सारणी वाप न सम वय िकंवा ि ड संदभा या जोडी िमळव या
जातात आिण अ यास े ा या नकाशावर िच हा ंिकत के या जातात .
• नमु यासाठी रेषा तयार कर यासाठी हे जोडल े जातात
३. या ि छक े ाचे नमुने घेणे
• या ि छक सं या सार या िनद शांक िकंवा ि ड संदभ तयार करतात याचा वापर
चौथया या तळाशी (दि ण पि म) कोपरा िच हा ंिकत कर यासाठी केला जातो
या ि छ क नमुना फायद े आिण तोटे
फायद े:
• मोठ्या नमुना लोकस ं येसह वापरल े जाऊ शकते
• प पात टाळतो
तोटे:
• एकूण पालक लोकस ं येचे िकंवा े ाचे खराब ितिनिध व होऊ शकते जर मोठ्या
े ांना या ि छक सं येने यु प न केले नाही. जर अ यासाच े े खूप मोठे असेल तर
हे वाईट होते
• अ यास े ा या काही भागांम ये उपल ध वेळे या आिण वेशा या ीने
यावहा रक मया दा असू शकतात
२. प तशीर नमुना
• नमुने प तशीर िकंवा िनयिमत प तीन े िनवडल े जातात .
• ते एका थािनक संदभा त समान रीतीन े/िनयिमतपण े िवतरीत केले जातात ,
उदाहरणाथ येक दोन मीटर अंतरावर ा से ट लाईन
• ते ता पुर या संदभा त समान /िनयिमत अंतराने असू शकतात , उदाहरणाथ येक
अ या तासान े िकंवा िदवसा या िनधा रत वेळी
munotes.in
Page 74
ा यि क भ ूगोल
74 • ते िनयिमतपण े मांिकत केले जाऊ शकतात , उदाहरणाथ येक 10 या घर
िकंवा य
काय प ती
१. प तशीर िबंदू नमुना
एक ि ड वापरला जाऊ शकतो आिण पॉइंट ि ड रेषां या छेदनिबंदूवर िकंवा येक ि ड
वेअर या म यभागी असू शकतात . नमुने घेणे जवळ या यवहाय िठकाणी केले जाते.
ा से ट लाईन या बाजूने, वन पती /गारगोटी डेटा संकलनासाठी सॅ पिलंग पॉइंट्स
प तशीरपण े ओळखल े जाऊ शकतात , उदाहरणाथ येक दोन मीटर िकंवा येक 10
या .
२. प तशीर रेखा नमुना
नकाशावरील ि ड या पूव कडील िकंवा उ रेचा वापर ा से ट रेषा ओळख यासाठी
केला जाऊ शकतो . वैकि पक र या , समु िकना या या बाजूने असे ठरवल े जाऊ शकते
क समु िकना या या लांबी या बाजूने दर 20 मीटर अंतरावर समु िकना यावर एक
आडकाठी केली जाईल .
३. प तशीर े नमुना
नमुना याय या असल े या ि ड वेअरचा 'नमुना' अ यास े ाचा नकाशा वाप न
ओळखला जाऊ शकतो , उदाहरणाथ येक सेकंद/ितसरा ि ड वेअर खाली िकंवा
संपूण े फळ - दि ण पि म कोपरा नंतर चौकोनाचा कोपरा िच हा ंिकत करेल. जोपय त
ते िनयिमत असतात तोपय त नमुने कोणताही आकार िकंवा िदशा असू शकतात .
प तशीर नमुना फायद े आिण तोटे
फायद े:
• हे या ि छक नमुनापे ा अिधक सरळ आहे
• ि ड वापरण े आव यक नाही, सॅ पिलंग फ एकसमान अंतराने असण े आव यक आहे
munotes.in
Page 75
नमुना
75 • या ि छक नमुने वापर याप े ा अ यास े ाचे चांगले क हर ेज अिधक सहजपण े ा
केले जाऊ शकते
तोटे:
• हे अिधक प पाती आहे, कारण सव सद या ंना िकंवा गुणांना िनवडल े जा याची समान
संधी नसते
• यामुळे एखा ा िविश ट पॅटन चे ितिनधी व अिधक िकंवा कमी होऊ शकते
munotes.in
Page 76
76 ५
भूगोलातील े ीय काय - कोण याही एका
िठकाणा या /गावा या
या करणा म ये आपण भौगोिलक अहवाल लेखन िशकू. भौगोिलक अहवाल कसा
िलहायचा ,कोण या प ती वापर या जातात आिण भौगोिलक अहवाल लेखनासाठी कोणत े
तं उपयु आहे हे आ हाला समजते.
भौगोिलक े अहवाल :
शेतात केले या कामाचा अहवाल िलिहण े हे फ डवक चे द तऐवजीकरण आहे. हे काय पूण
केले या िव ा या ारे कामाच े प तशीर पुनरावलोकन कर यास मदत करते आिण
भिव यातील े ीय अ यासासाठी एक संदभ आहे. े ीय अहवाल लहान , प आिण
सहा यक डेटा, नकाश े, केचेस, छायािच े इ यादीसह मािहतीप ूण असल े पािहज ेत.
अहवाल लेखनात अनेक ट पे आहेत. ते आहेत:
शीष क:
तपासाचा िवषय ओळखा जो फ ड वक चा उ ेश आहे. हे कामाच े शीष क आहे आिण ते
अहवाला या शीष थानी ठळक अ रात िलहाव े लागेल.
प रचय :
येक अहवालाची सु वात अ यासाखालील िवषया या संि प रचयान े करावी .
भूगोला या कोण या भागाशी याचा संबंध आहे हे प केले पािहज े. उदाहरणाथ , जर
अ यास एखा ा वाहािवषयी असेल, तर तो भौितक भूगोला या शाखेत येतो, िवशेषत:
िजओमॉफ लॉजी - िड युडेशनचा ए सोज ेनेिटक एजंट. फ डवक साठी िनयोिजत केलेली
कालमया दा सिव तरपण े सांगता येईल. फ ड वक एक िदवसाप े ा जा त कालावधीसाठी
वाढवत अस यास , प वेळाप क िदले पािहज े.
अ यासाची गरज:
े ाचे काम का हाती घेतले याचे कारण सांगता येईल. हे फ ड वक ची गरज प करते.
अ यास े :
अ यास े ाचे तपशील येथे प केले आहेत - अ यास े ाचे प रपूण िकंवा भौगोिलक
थान , अ यास े ाची िनवड आिण े ाचे भौितकशा यापास ून सु वात . अ या स े ाचे
इतर ात भौितक आिण सां कृितक तपशील येथे नमूद केले जाऊ शकतात . नकाशाची
एक त, उप ह ितमा इ याद चा समाव ेश येथे केला जाऊ शकतो .
munotes.in
Page 77
भूगोलातील े ीय काय -
कोण याही एका
िठकाणा या /गावा या
77 वापरल ेली प त:
े ीय काय कर यासाठी वापर या जाणा या प त चा येथे उ लेख करावा लागेल. मािहती
गोळा कर याची प त अ यासा या कारान ुसार बदलत े. हे िनरी ण , तपासणी , मोजमाप
या ार े असू शकते; ाथिमक आिण दु यम ोता ंकडून डेटा संकलन ; फ ड केचेस,
ऑिडओ -ि हिडओ रेकॉिड ग आिण छायािच े आिण GNSS सव ण.
डेटा िव ेषण:
िफ डवक ारे गोळा केलेला डेटा सो या प तीन े िव ेषणासाठी सादर केला पािहज े. डेटाचे
ितिनिध व कर याची प त गोळा केले या डेटा या प तीन ुसार असावी . उदाहरण :
1. जर डेटा संकलनाम य े िनरी ण प त वापरली गेली असेल तर डेटा छायािच े िकंवा
फ ड केच हणून दश िवला जाऊ शकतो .
2. सव णां ारे डेटा संकिलत के यास , तो योजना िकंवा नकाशा हणून दश िवला जाऊ
शकतो .
3. दु यम ोता ंकडून गोळा केलेला डेटा सार या , आलेख, आकृ या िकंवा त े हणून
सादर केला जाऊ शकतो .
4. GNSS सव णा ार े गोळा केलेला मािहती नाकाश केला जाऊ शकतो .
िविवध व पात दश िवले या डेटाला सहज ओळख यासाठी आिण समज यासाठी
सुबकपण े लेबल आिण अनु िमत केले जावे. पो ट फ ड वक दर यान तयार केलेली
छायािच े, आकृ या, त े, नकाश े इ याद ची मवार मांडणी करावी लागत े जेणेक न ते
अ यासा या उ ेशाचे उ र देऊ शकतील आिण शेतात केले या कामा या अहवालात
अिधक अथ आिण मू य जोडू शकतील . .
िन कष :
िन कष े ीय काया चा सारांश देतो - उि , प रणाम िकंवा िन कष आिण ते िव मान
ानाशी कसे संबंिधत आहे आिण या े ीय काया ारे नवीन ानाची भर घालत े.
समारोपात फ डवक ने वगा त िमळवल ेले सै ांितक ान कसे वाढवल े आहे ते मांडावे
लागेल.
खाली िदलेला त ा भौितक भूगोल अंतग त काही केस टडीसाठी फ ड रपोट तयार
कर या या काही पाय या देतो. munotes.in
Page 78
ा यि क भ ूगोल
78
munotes.in
Page 79
भूगोलातील े ीय काय -
कोण याही एका
िठकाणा या /गावा या
79
munotes.in
Page 80
ा यि क भ ूगोल
80 सराव
1. तुम या शाळे या मैदानाच े मोजमाप करा आिण याचा आराखडा तयार करा.
2. जमीन , पा या या वाहाची िदशा, प रसरातील झाडे आिण इतर वन पत चा अ यास
कर यासाठी नदी या रेषे या े ाम ये फ ड ि पची यव था करा. फ ड केच बनवा
आिण एक छोटा रपोट तयार करा.
3. सकाळी 11.00 आिण 4.00 वाजता दररोजच े तापमान मोजा आिण कमाल आिण
िकमान तापमानाची मािसक सरासरी शोधा.
4. या भागातील उतार, उतार, झाडे आिण इतर वन पत चा अ यास कर यासाठी
जवळ या ड गराळ भागात फ ड भेटीची योजना करा. याचे फ ड केच तयार करा
आिण एक छोटा अहवाल िलहा.
munotes.in
Page 81
QUESTION PAPER PATTERN (SEM - VI)
MARKS: -100 TIME:4 HRS
:
1. All questions are compulsory.
2. Figures to the right indicate marks to a sub-question.
3. Use of map stencils and simple calculator is allowed.
Q.1 Unit-I 16Marks
Q.2 Unit–II 16Marks
Q.3 Unit–III 16Marks
Q.4 Unit–IV 16Marks
Q.5 Unit–V 16Marks
Q.6 JournalandViva 20Marks
munotes.in